已知三次函数f(x)=ax3-5x2+cx+d(a≠0)图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且f(x)在x=3处有极值.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ
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已知三次函数f(x)=ax3-5x2+cx+d(a≠0)图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且f(x)在x=3处有极值. (Ⅰ)求f(x)的解析式; (Ⅱ)若当x∈(0,m)时,f(x)>0恒成立,求实数m的取值范围. |
答案
(1)∵f(x)图象过点(1,8), ∴a-5+c+d=8,即a+c+d=13① 又f′(x)=3ax2-10x+c,且点(1,8)处的切线经过(3,0), ∴f′(1)==-4,即3a-10+c=-4,∴3a+c=6② 又∵f(x)在x=3处有极值,∴f′(3)=0,即27a+c=30③ 联立①、②、③解得a=1,c=3,d=9,f(x)=x3-5x2+3x+9 (2)f′(x)=3x2-10x+3=(3x-1)(x-3)由f′(x)=0得x1=,x2=3 当x∈(0,)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,∴f(x)>f(0)=9 当x∈(,3)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,∴f(x)>f(3)=0. 又∵f(3)=0, ∴当m>3时,f(x)>0在(0,m)内不恒成立. ∴当且仅当m∈(0,3]时,f(x)>0在(0,m)内恒成立. 所以m取值范围为(0,3]. |
举一反三
设函数f(x)=cos(2x+)+sin2x,x∈R (1)求f(x)的最小正周期 (2)若函数g(x)对任意x∈R有g(x+)=g(x)且x∈[0,]时g(x)=f(x),求g(x)在区间[-,0]上的解析式. |
满足对定义域内任意x1,x2,都有f(x1)f(x2)=f(x1+x2)成立的函数f(x)=______(写出一个即可). |
已知f(x)是一次函数,2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)=( ) |
已知f(x+1)=x2-2x,则f(x)=______. |
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