某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a（3≤a≤5）元的管理费，预计当每件产品的售价为x（9≤x≤11）元时，一年的销售量

题型：解答题难度：一般来源：湖南省月考题

某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a（3≤a≤5）元的管理费，预计当每件产品的售价为x（9≤x≤11）元时，一年的销售量为（12-x）²万件。
（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）。

答案

解：（1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=（x-3-a）（12-x）²，
x∈[9，11]。
（2）L′（x）=（12-x）²-2（x-3-a）（12-x）=（12-x）（18+2a-3x）
令L′（x）=0得x=6+a或x=12（不合题意，舍去）
∵3≤a≤5，
∴8≤6+a≤
在x=6+a两侧L′的值由正值变负值
所以，当8≤6+a≤9，
即3≤a≤时，L_max=L（9）=（9-3-a）（12-9）²=9（6-a）；
当9＜6+a≤，即＜a≤5时，L_max=L（6+a）=（6+a-3-a）[12-（6+a）]²=4（3-a）³，

即当3≤a≤时，当每件售价为9元，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9（6-a）万元；
当＜a≤5时，当每件售价为（6+a）元，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=4（3-a）³万元。