对函数f(x)=xsin x,现有下列命题:①函数f(x)是偶函数;②函数f(x)的最小正周期是2π;③点(π,0)是函数f(x)的图象的一个对称中心;④函数f
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对函数f(x)=xsin x,现有下列命题:①函数f(x)是偶函数;②函数f(x)的最小正周期是2π;③点(π,0)是函数f(x)的图象的一个对称中心;④函数f
题型:填空题
难度:一般
来源:不详
对函数
f
(
x
)=
x
sin
x
,现有下列命题:①函数
f
(
x
)是偶函数;②函数
f
(
x
)的最小正周期是2π;③点(π,0)是函数
f
(
x
)的图象的一个对称中心;④函数
f
(
x
)在区间
上单调递增,在区间
上单调递减.其中是真命题的是________.(写出所有真命题的序号)
答案
①④
解析
∵定义域关于原点对称,且
f
(-
x
)=
f
(
x
),∴函数
f
(
x
)是偶函数,①正确;∵
f
(
x
+2π)≠
f
(
x
),∴2π不是函数
f
(
x
)的周期,②错误;
∵
f
≠-
f
,∴点(π,0)不是函数
f
(
x
)的图象的一个对称中心,③错误;
∵
f
′(
x
)=sin
x
+
x
cos
x
≥0在区间
上恒成立,∴函数
f
(
x
)在区间
上单调递增,又∵函数
f
(
x
)是偶函数,∴在区间
上单调递减,④正确,所以真命题的序号是①④.
举一反三
{
a
n
}为首项为正数的递增等差数列,其前
n
项和为
S
n
,则点(
n
,
S
n
)所在的抛物线可能为( )
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数
f
(
x
)是R上的单调递增函数且为奇函数,数列{
a
n
}是等差数列,
a
3
>0,则
f
(
a
1
)+
f
(
a
3
)+
f
(
a
5
)的值( )
A.恒为正数
B.恒为负数
C.恒为0
D.可以为正数也可以为负数
题型:单选题
难度:一般
|
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设奇函数f(x)在[-1,1]上是增函数,且f(-1)=-1,若函数f(x)≤t
2
-2at+1对所有的x∈[-1,1]都成立,则当a∈[-1,1]时t的取值范围是( )
A.-2≤t≤2
B.-
≤t≤
C.t≤-2或t=0或t≥2
D.t≤-
或t=0或t≥
题型:单选题
难度:一般
|
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设定义在[-1,7]上的函数y=f(x)的图像如图所示,则关于函数y=
的单调区间表述正确的是( )
A.在[-1,1]上单调递减
B.在(0,1]上单调递减,在[1,3)上单调递增
C.在[5,7]上单调递减
D.在[3,5]上单调递增
题型:单选题
难度:简单
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设函数f(x)=ax-(1+a
2
)x
2
,其中a>0,区间I={x|f(x)>0}.
(1)求I的长度(注:区间(α,β)的长度定义为β-α);
(2)给定常数k∈(0,1),当1-k≤a≤1+k时,求I的长度的最小值.
题型:解答题
难度:一般
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