试题分析:(1)函数奇偶性的判定,一要判定定义域是否关于原点对称,二要判定与是否相等或相反,(2)函数 是分段函数,每一段都是二次函数的一部分,因此研究 单调性,必须研究它们的对称轴,从图像可观察得到实数 满足的条件: ,(3)研究方程根的个数,通常从图像上研究,结合(2)可研究出函数图像.分三种情况研究,一是上单调增函数,二是先在上单调增,后在上单调减,再在上单调增,三是先在上单调增,后在上单调减,再在上单调增. 试题解析:(1)函数为奇函数. 当时,,,∴ ∴函数为奇函数; 3分 (2),当时,的对称轴为:; 当时,的对称轴为:;∴当时,在R上是增函数,即时,函数在上是增函数; 7分 (3)方程的解即为方程的解. ①当时,函数在上是增函数,∴关于的方程不可能有三个不相等的实数根; 9分 ②当时,即,∴在上单调增,在上单调减,在上单调增,∴当时,关于的方程有三个不相等的实数根;即,∵∴. 设,∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根, ∴,又可证在上单调增 ∴∴; 12分 ③当时,即,∴在上单调增,在上单调减,在上单调增, ∴当时,关于的方程有三个不相等的实数根; 即,∵∴,设 ∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根, ∴,又可证在上单调减∴ ∴; 15分 综上:. 16分 |