已知函数().(1)求的单调区间;(2)如果是曲线上的任意一点,若以为切点的切线的斜率恒成立,求实数的最小值;(3)讨论关于的方程的实根情况.

已知函数().(1)求的单调区间;(2)如果是曲线上的任意一点,若以为切点的切线的斜率恒成立,求实数的最小值;(3)讨论关于的方程的实根情况.

题型:解答题难度:简单来源:不详
已知函数).
(1)求的单调区间;
(2)如果是曲线上的任意一点,若以为切点的切线的斜率恒成立,求实数的最小值;
(3)讨论关于的方程的实根情况.
答案
(1)单调递增区间为 ,单调递减区间为;(2)的最小值为;(3)时,方程有两个实根,当时,方程有一个实根,当时,方程无实根.
解析

试题分析:本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性、最值等基础知识,考查函数思想,分类讨论思想,考查综合分析和解决问题的能力.第一问,先求导数,令导数等于0,得到方程的根,则为增函数,为减函数,本问要注意函数的定义域;第二问,先利用导数求出切线的斜率,得到恒成立的表达式,将其转化为恒成立,所以关键就是求,配方法求最大值即可;第三问,先将原方程化为,设,看函数图像与x轴的交点,对求导,判断函数的单调性,求出函数的最大值,讨论最大值的三种情况来决定方程根的情况.
试题解析:(Ⅰ) ,定义域为

因为,由, 由
所以的单调递增区间为 ,单调递减区间为.   .3分
(Ⅱ)由题意,以为切点的切线的斜率满足
 
所以恒成立.
又当时,
所以的最小值为.        .6分
(Ⅲ)由题意,方程化简得
,则
时,
时,
所以在区间上单调递增,在区间上单调递减.
所以处取得极大值即最大值,最大值为
所以当,即时, 的图象与轴恰有两个交点,
方程有两个实根,
时,的图象与轴恰有一个交点,
方程有一个实根,
时,的图象与轴无交点,
方程无实根.                12分
举一反三
已知函数上的奇函数,时,,若对于任意,都有,则的值为         .
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知不等式对于恒成立,则实数的取值范围是___________.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知是偶函数,当时,其导函数,则满足的所有之和为_________.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设实数满足,则的最大值是_____.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
若函数上是减函数,则实数的取值范围是           .
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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