(本小题满分14分)已知是定义在[-1,1]上的奇函数,当,且时有.(1)判断函数的单调性,并给予证明;(2)若对所有恒成立,求实数m的取值范围.
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(本小题满分14分)已知是定义在[-1,1]上的奇函数,当,且时有.(1)判断函数的单调性,并给予证明;(2)若对所有恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:简单
来源:不详
(本小题满分14分)已知
是定义在[-1,1]上的奇函数,当
,且
时有
.
(1)判断函数
的单调性,并给予证明;
(2)若
对所有
恒成立,求实数m的取值范围.
答案
(1)令-1≤x
1
<x
2
≤1,且a= x
1
,b=-x
2
则
∵x
1
- x
2
<0,f(x)是奇函数
∴f(x
1
)-f(x
2
)<0即f(x
1
)<f(x
2
)
∵x
1
<x
2
∴f(x)是[-1,1]上的增函数。
(2)
。
解析
试题分析:(1)
……………6
(2)解:∵f(x)是增函数,且f (x)≤m
2
-2bm+1对所有x∈[-1,1]恒成立
∴[f(x)]
max
≤m
2
-2bm+1 [f(x)]
max
=f(1)=1
∴m
2
-2bm+1≥1即m
2
-2bm≥0在b∈[-1,1]恒成立
∴y= -2mb+m
2
在b∈[-1,1]恒大于等于0 ……………9
∴
,∴
∴m的取值范围是
…14
点评:对于恒成立问题常用分离参数法进行解决:若
恒成立,只需
;若
恒成立,只需
。
举一反三
已知定义在R上的奇函数
,满足
,且在区间
上是增函数,若方程
在区间
上有四个不同的根
,则
A.6
B.
C.18
D.0
题型:单选题
难度:简单
|
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定义在
上的函数
,如果存在函数
,使得
对一切实数
都成立,则称
是函数
的一个“亲密函数”,现有如下的命题:
(1)对于给定的函数
,其“亲密函数”有可能不存在,也可能有无数个;
(2)
是
的一个“亲密函数”;
(3)定义域与值域都是
的函数
不存在“亲密函数”。
其中正确的命题是( )
A.(1)
B.(2)
C.(1)(2)
D.(1)(3)
题型:单选题
难度:简单
|
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下列函数中是偶函数且在(0,1)上单调递减的是( )
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:简单
|
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设
是定义在R上的奇函数,且满足
,则
.
题型:填空题
难度:简单
|
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已知
,则
之间的大小关系是
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:简单
|
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