(本小题满分12分)函数f(x)=loga(x2-4ax+3a2), 0<a<1, 当x∈[a+2,a+3]时,恒有|f(x)|≤1,试确定a的取值
题型:解答题难度:一般来源:不详
(本小题满分12分)函数f(x)=loga(x2-4ax+3a2), 0<a<1, 当x∈[a+2,a+3]时,恒有|f(x)|≤1,试确定a的取值范围. |
答案
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解析
本题考查对数型复合函数,求其定义域时要注意底数大于0且不等式于1,第二问考查了利用复合函数的单调性转化为不等式求参数,有一定难度. 求函数f(x)的定义域,依据对数函数的定义,底数大于0且不等于1,真数大于0,转化为不等式用参数a表示出函数f(x)的定义域;由这个结论知[a+2,a+3]必为(0,a)或者(3a,+∞)的子集,故[a+2,a+3]必为f(x)的单调区间,欲满足|f(x)|≤1,只须|f(a+2)|≤1,|f(a+3)|≤1同时成立,解此二不等式即可求得a的取值范围. 解:f(x)=loga(x2-4ax+3a2)= loga(x-3a)(x-a) ∵|f(x)|≤1恒成立, ∴ -1≤loga(x-3a)(x-a)≤1 ………………2分 ∵ 0<a<1. ∴a≤(x-3a)(x-a)≤对x∈[a+2,a+3]恒成立. ………………5分 令h(x)= (x-3a)(x-a), 其对称轴x=2a. 又 2a<2, 2<a+2, ∴当x∈[a+2,a+3]时, h(x)min=h(a+2),h(x)max=h(a+3). ……………8分 ∴ . ………………12分 |
举一反三
如果函数在R上单调递减,则( ) |
下列函数中在区间上是增函数的是( ) |
已知函数是奇函数,且在区间上单调递减,则上是( ) A.单调递减函数,且有最小值 | B.单调递减函数,且有最大值 | C.单调递增函数,且有最小值 | D.单调递增函数,且有最大值 |
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