(本题满分12分)已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f(+f(x2)=f(x1),且当x>1时,f(x)<0.(1)求f(1)的值;(2)判断f(x

(本题满分12分)已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f(+f(x2)=f(x1),且当x>1时,f(x)<0.(1)求f(1)的值;(2)判断f(x

题型:解答题难度:一般来源:不详
(本题满分12分)已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f(+f(x2)=f(x1),且当x>1时,f(x)<0.
(1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的单调性并加以证明;
(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)>-2.
答案
(1)f(1)=0.(2)函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.
(3){x| -9<x<0或0<x<9}.
解析
本试题主要是考查了函数的单调性和不等式的解集,
(1)令x2=x1>0,代入得f(1)+f(x1)=f(x1),故f(1)=0.
(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则>1,由于当x>1时,f(x)<0,
所以f<0,即f (x1)-f(x2)<0,因此f(x1)<f(x2),
(3)由题意有f=f(x1)-f(x2),则f=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2进而求解不等式。
解 (1)令x2=x1>0,代入得f(1)+f(x1)=f(x1),故f(1)=0.……………………3分
(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则>1,由于当x>1时,f(x)<0,
所以f<0,即f (x1)-f(x2)<0,因此f(x1)<f(x2),
所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.……………………7分
(3)由题意有f=f(x1)-f(x2),则f=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.………………9分
由于函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数,
由f(|x|)>f(9),得|x|<9,∴-9<x<9.……………………11分
又因为|x|>0,因此不等式的解集为{x| -9<x<0或0<x<9}.……………………12分
举一反三
为实常数).
(1)当时,证明:不是奇函数;
(2)设是奇函数,求的值;
(3)在满足(2)且当时,若对任意的,不等式
恒成立,求的取值范围.
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实数,,a,b,c从小到大排列为      
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知函数
(Ⅰ)判断f(x)在上的单调性,并证明你的结论;
(Ⅱ)若集合A="{y" | y=f(x),},B=[0,1], 试判断A与B的关系;
(Ⅲ)若存在实数a、b(a<b),使得集合{y | y=f(x),a≤x≤b}=[ma,mb],求非零实数m的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知的值。
题型:解答题难度:简单| 查看答案
已知函数,其中为常数,,则=_____________.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
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