本题考查了函数单调性的定义,并结合着函数性质对区间进行分类讨论,并求解.分类讨论在高中范围内仍是很重要的一类思想,在高考中也是经常考查到的思想. (1)由函数单调性的定义出发,给出证明. (2)由x的范围算出f(x)的值域.再讲两个集合A和B进行比较. (3)由前面单调性及函数特征的分析可知,0和1作为分类讨论的两个分界点分别讨论. 解:(1)f(x)在上为增函数. ∵x≥1时,f(x)=1- 对任意的x1,x2,当1≤x1<x2时 f(x1)- f(x2)=(1-)-(1-)= ∵x1x2>0,x1-x2<0 ∴ ∴f(x1)< f(x2) ∴f(x)在上为增函数. (2)证明f(x)在上单调递减,[1,2]上单调递增, 求出A=[0,1]说明A=B. (3)∵a<b,ma<mb,∴m>0 ∵f(x)≥0, ∴ma≥0,又a≠0,∴a>0 1° 0<a<b≤1,由图象知,f(x)当x[a,b]递减, ∴与a<b矛盾 2° 0<a<1<b,这时f(1)=0,则ma=0,而ma>0 这亦与题设不符; 3° 1≤a<b,f(x)当x[a,b]递增 可知mx2-x+1=0在内有两不等实根 由 ,得 综上可知 |