已知函数y=f(x)对任意的实数ab都有:f(a+b)=f(a)+f(b)﹣1,且x>0时,f(x)>1,(1)求证:f(x)是R上的增函数;(2)若f(4)=
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已知函数y=f(x)对任意的实数ab都有:f(a+b)=f(a)+f(b)﹣1,且x>0时,f(x)>1,(1)求证:f(x)是R上的增函数;(2)若f(4)=
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数y=f(x)对任意的实数ab都有:f(a+b)=f(a)+f(b)﹣1,且x>0时,f(x)>1,
(1)求证:f(x)是R上的增函数;
(2)若f(4)=5,求f(2)的值,并解不等式f(3m
2
﹣m﹣2)<3.
答案
(1)见解析(2)不等式f(3m
2
﹣m﹣2)<3的解集为:{m|﹣1<m<
}
解析
试题分析:(1)设x
1
<x
2
,利用函数单调性的定义作差结合已知条件判断符号即可;
(2)利用f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)﹣1=5即可求得f(2)=3,再利用其单调递增的性质脱掉“f”,解关于m的不等式即可.
(1)证明:∵f(a+b)=f(a)+f(b)﹣1,且x>0时,f(x)>1,
设x
1
<x
2
,则x
2
﹣x
1
>0,f(x
2
﹣x
1
)>1,
∴f(x
2
)﹣f(x
1
)=f[(x
2
﹣x
1
)+x
1
]﹣f(x
1
)=f(x
2
﹣x
1
)+f(x
1
)﹣1﹣f(x
1
)=f(x
2
﹣x
1
)﹣1>1﹣1=0,
∴f(x)是R上的增函数;
(2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)﹣1=5,
∴f(2)=3.
∴f(3m
2
﹣m﹣2)<3=f(2),又f(x)是R上的增函数;
∴3m
2
﹣m﹣2<2,
∴﹣1<m<
∴不等式f(3m
2
﹣m﹣2)<3的解集为:{m|﹣1<m<
}.
点评:本题考查抽象函数及其应用,着重考查抽象函数的单调性,f(x
2
)=f[(x
2
﹣x
1
)+x
1
]是解决的关键,属于中档题
举一反三
若函数
的图象与
轴相切于点
,
的极大值为m,
极小值为n, 则
.
题型:填空题
难度:简单
|
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已知函数
(1)利用定义证明函数
在
上是增函数,
(2)若不等式
对于任意
恒成立,求实数
的取值范围。
题型:解答题
难度:简单
|
查看答案
定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x),当x
[0,2]时,f(x)=x
2
-2x,若x
[-4,-2]时,f(x)
恒成立 ,则实数t的取值范围是
A.(-∞,-1)∪(0,3]
B.(-∞,-
)∪(0,
]
C.[-1,0)∪[3,+∞)
D.[-
,0)∪[
,+∞)
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
函数
的图象恒过定点
,若点
在直线
上,其中
均大于0,则
的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
定义在
R
上的函数
满足对任意实数
,总有
,且当
时,
.
(1)试求
的值;
(2)判断
的单调性并证明你的结论;
(3)设
,若
,试确定
的取值范围.
题型:解答题
难度:简单
|
查看答案
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