设函数f(x)在(-3,3)上是奇函数,且对任意x,y都有f(x)-f(y)=f(x-y),当x<0时,f(x)>0,f(1)=-2(1)求f(2)的值;(2)
题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)在(-3,3)上是奇函数,且对任意x,y都有f(x)-f(y)=f(x-y),当x<0时,f(x)>0,f(1)=-2 (1)求f(2)的值; (2)判断f(x)的单调性,并证明; (3)若函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x),求不等式g(x)≤0的解集. |
答案
(1)令x=2,y=1, 由f(x)-f(y)=f(x-y),得f(2)-f(1)=f(2-1)=f(1), 又f(1)=-2,解得f(2)=-4. (2)f(x)在(-3,3)上是减函数. 证明:在(-3,3)上任取x1,x2,且x1<x2,则x1-x2<0, 令x=x1,y=x2, 由f(x)-f(y)=f(x-y),得f(x1)-f(x2)=f(x1-x2), ∵当x<0时,f(x)>0,且x1-x2<0, ∴f(x1-x2)>0,即f(x1)-f(x2)>0,∴f(x1)>f(x2), ∴f(x)在(-3,3)上是减函数. (3)由函数f(x)在(-3,3)上是奇函数, 得g(x)=f(x-1)+f(3-2x)=f(x-1)-f(2x-3), g(x)≤0的解集即是f(x-1)-f(2x-3)≤0的解集. f(x-1)-f(2x-3)≤0即是f(x-1)≤f(2x-3), 由(2)知奇函数f(x) 在(-3,3)上是减函数, 则有 | x-1≥2x-3 | -3<x-1<3 | -3<2x-3<3 |
| | ,解得0<x≤2. ∴不等式g(x)≤0的解集为{x|0<x≤2}. |
举一反三
若f(cosx)=cos2x,则f(sin) 的值( ) |
已知函数f(x)与函数g(x)=logx的图象关于直线y=x对称,则函数f(x2+2x)的单调递增区间是______. |
已知奇函数函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),当x>0时,f(x)=1- (1)求f(-2)的值; (2)当x<0时,求f(x)的解析式; (3)求证:函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数. |
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