已知函数f(x)=x+1x:(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性;(2)判断并证明f(x)在区间(1,+∞)上的单调性.
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已知函数f(x)=x+1x:(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性;(2)判断并证明f(x)在区间(1,+∞)上的单调性.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=x+
1
x
:
(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性;
(2)判断并证明f(x)在区间(1,+∞)上的单调性.
答案
(1)函数
f(x)=x+
1
x
为奇函数,理由如下:
由已知函数的解析式
f(x)=x+
1
x
可得函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称
又∵
f(-x)=-x+
1
-x
=
-(x+
1
x
)
=-f(x)
∴函数
f(x)=x+
1
x
为奇函数
(2)f(x)在区间(1,+∞)上为增函数,理由如下:
任取x
1
,x
2
∈(1,+∞),且x
1
<x
2
,
∴x
1
-x
2
<0,x
1
•x
2
>1,x
1
•x
2
-1>0,
又∵f(x
1
)-f(x
2
)=
x
1
+
1
x
1
-(
x
2
+
1
x
2
)=
x
1
-x
2
+
1
x
1
-
1
x
2
=
x
1
-x
2
-
x
1
-
x
2
x
1
•
x
2
=
(x
1
-x
2
)•(1-
1
x
1
•
x
2
)
=
(x
1
-x
2
)•
x
1
•
x
2
-1
x
1
•
x
2
∴f(x
1
)-f(x
2
)<0
即f(x
1
)<f(x
2
)
故f(x)在区间(1,+∞)上为增函数.
举一反三
已知
f(x)=
x+2(x≤1)
2x(x>1)
,若 f(a)=3,则a的值是( )
A.1
B.
3
2
C.
3
2
或1
D.
3
题型:单选题
难度:一般
|
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已知二次函数f(x)=x
2
+bx+c满足f(1)=0,f(3)=0
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在区间 (2m,m+1)具有单调性,求m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=x
3
+ax
2
+bx+c,在定义域x∈[-2,2]上表示的曲线过原点,且在x=±1处的切线斜率均为-1.有以下命题:①f(x)是奇函数;②若f(x)在[s,t]内递减,则|t-s|的最大值为4;③f(x)的最大值为M,最小值为m,则M+m=0.④若对∀x∈[-2,2],k≤f"(x)恒成立,则k的最大值为2.其中正确命题的个数有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
题型:单选题
难度:简单
|
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定义在(-1,1)上的函数f(x)是奇函数,且在(-1,1)上f(x)是减函数,满足条件f(1-a)+f(1-a
2
)<0的实数a取值范围是( )
A.(0,1)
B.(-2,1)
C.[0,1]
D.[-2,1]
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数f(x)=
b-
3
x
3
x+1
+a
是定义在R上的奇函数.
(1)求a,b的值.(2)判断函数f(x)的单调性并证明;
(3)若对任意t∈R,m∈[-1,1],f(t
2
-2mt)+f(2t
2
-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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