已知函数f(x)的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞),且对于任意x1,x2∈D,均有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0;(1
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞),且对于任意x1,x2∈D,均有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0; (1)求f(1)与f(-1)的值; (2)判断函数的奇偶性并证明; (3)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; (4)若f(4)=1,解不等式f(3x+1)≤2. |
答案
(1)令x1=x2=1,代入f(x1•x2)=f(x1)+f(x2)可得f(1)=0; 令x1=x2=-1,则有f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1)-f(1)=0,解得:f(-1)=0. (2)令x1=x,x2=-1,则有f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x),即f(-x)=f(x), 所以函数f(x)是偶函数. (3)设x1,x2∈(0,+∞),并且x1<x2,则有>1,f()>0, 所以f(x2)=f(•x1)=f()+f(x1)>f(x1), 所以函数f(x)在(0,+∞)上是增函数. (4)由题意可得:f(16)=f(4×4)=2f(4)=2, 所以由f(3x+1)≤2可得:f(3x+1)≤f(16), 因为函数f(x)为偶函数, 所以有f(-x)=f(x)=f(|x|),即f(|3x+1|)≤f(16), 又因为函数f(x)在(0,+∞)上是增函数, 所以|3x+1|≤16,并且3x+1≠0, 解得:[-,-)∪(-,5]. |
举一反三
已知奇函数f(x)在定义域[-3,3]上是减函数,且满足f(a2-2a)+f(2-a)<0,求实数a的取值范围. |
已知f(2x+1)=x2-2x,则f(2)=______. |
已知函数f(x),g(x)分别由下表给出
x | 1 | 2 | 3 | f(x) | 1 | 3 | 2 | 函数f(x)=的单调递减区间为( )A.(-∞,-1] | B.(-∞,1] | C.[1,+∞) | D.(3,+∞) |
| 函数y=log(x2-4x-5)的递减区间为______. |
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