已知函数f(x)=x2+1-ax,其中a>0.(1)若2f(1)=f(-1),求a的值;(2)当a≥1时,判断函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性;(3)若

已知函数f(x)=x2+1-ax,其中a>0.(1)若2f(1)=f(-1),求a的值;(2)当a≥1时,判断函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性;(3)若

题型:解答题难度:一般来源:浦东新区一模
已知函数f(x)=


x2+1
-ax
,其中a>0.
(1)若2f(1)=f(-1),求a的值;
(2)当a≥1时,判断函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性;
(3)若函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求a的取值范围.
答案
(1)由2f(1)=f(-1),可得:2


2
-2a=


2
+a
3a=


2
a=


2
3
…(4分)
(2)若a≥1,任取0≤x1<x2f(x1)-f(x2)=


x12+1
-ax1-


x22
+1
+ax2=


x12+1
-


x22
+1
-a(x1-x2)

=
x21
-
x22


x21
+1
+


x22
+1
-a(x1-x2)
=(x1-x2)(
x1+x2


x21
+1
+


x22
+1
-a)
…(6分)
因为0≤x1


x21
+1
0<x2


x22
+1
,所以0<
x1+x2


x21
+1
+


x22
+1
<1
…(8分)
因为a≥1,则f(x1)-f(x2)>0,f(x)在[0,+∞)单调递减     …(10分)
(3)任取1≤x1<x2,f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(
x1+x2


x21
+1
+


x22
+1
-a)
,因为f(x)单调递增,
所以f(x1)-f(x2)<0,又x1-x2<0,那么
x1+x2


x21
+1
+


x22
+1
-a
>0恒成立 (12分)


2
2
x1+x2


x21
+1
+


x22
+1
<1
,…(14分)   所以0<a≤


2
2
…(16分)
举一反三
已知三个函数:①y=2cosx;②y=1-x3;③y=2x+1.其中满足性质:“对于任意x1,x2∈R,若x1x0x2 α=
x1+x0
2
 β=
x0+x2
2
,则有|f(α)-f(β)|<|f(x1)-f(x2)|成立”的函数是 ______.(写出全部正确结论的序号)
题型:填空题难度:简单| 查看答案
函数y=f(x)的图象与y=ln(x-2)的图象关于x=1轴对称,若f(a)=-1,则a的值是(  )
A.-eB.eC.-
1
e
D.
1
e
题型:单选题难度:简单| 查看答案
科学家以里氏震级来度量地震的强度,若设I为地震时所散发出来的相对能量强度,则里氏震级量度r可定义为r=
2
3
lgI+2
.2008年5月12日,四川汶川发生的地震是8.0级,而1976年唐山地震的震级为7.8级,那么汶川地震所散发的相对能量是唐山地震所散发的相对能量的______倍.(精确到个位)
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)=-a


x2+1
+x+a,x∈(0,1],其中a>0

(1)若f(x)在(0,1]上是增函数,求a的取值范围;
(2)求f(x)在(0,1]上的最大值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
在下列五个函数中,①y=2x,②y=log2x,③y=x2,④y=x-1,⑤y=cos2x.当0<x1<x2<1
时,使f(
x1+x2
2
)>
f(x1)+f(x2)
2
恒成立的函数是______(将正确序号都填上).
题型:填空题难度:简单| 查看答案
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