已知函数f(x)=x2+1-ax,其中a>0.(1)若2f(1)=f(-1),求a的值;(2)当a≥1时,判断函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性;(3)若
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已知函数f(x)=x2+1-ax,其中a>0.(1)若2f(1)=f(-1),求a的值;(2)当a≥1时,判断函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性;(3)若
题型:解答题
难度:一般
来源:浦东新区一模
已知函数
f(x)=
x
2
+1
-ax
,其中a>0.
(1)若2f(1)=f(-1),求a的值;
(2)当a≥1时,判断函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性;
(3)若函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求a的取值范围.
答案
(1)由2f(1)=f(-1),可得:
2
2
-2a=
2
+a
3a=
2
,
a=
2
3
…(4分)
(2)若a≥1,任取0≤x
1
<x
2
f(
x
1
)-f(
x
2
)=
x
1
2
+1
-a
x
1
-
x
22
+1
+a
x
2
=
x
1
2
+1
-
x
22
+1
-a(
x
1
-
x
2
)
=
x
21
-
x
22
x
21
+1
+
x
22
+1
-a(
x
1
-
x
2
)
=
(
x
1
-
x
2
)(
x
1
+
x
2
x
21
+1
+
x
22
+1
-a)
…(6分)
因为
0≤
x
1
<
x
21
+1
,
0<
x
2
<
x
22
+1
,所以
0<
x
1
+
x
2
x
21
+1
+
x
22
+1
<1
…(8分)
因为a≥1,则f(x
1
)-f(x
2
)>0,f(x)在[0,+∞)单调递减 …(10分)
(3)任取1≤x
1
<x
2
,f(x
1
)-f(x
2
)=
(
x
1
-
x
2
)(
x
1
+
x
2
x
21
+1
+
x
22
+1
-a)
,因为f(x)单调递增,
所以f(x
1
)-f(x
2
)<0,又x
1
-x
2
<0,那么
x
1
+
x
2
x
21
+1
+
x
22
+1
-a
>0恒成立 (12分)
2
2
<
x
1
+
x
2
x
21
+1
+
x
22
+1
<1
,…(14分) 所以
0<a≤
2
2
…(16分)
举一反三
已知三个函数:①y=2cosx;②y=1-x
3
;③y=2
x+1
.其中满足性质:“对于任意x
1
,x
2
∈R,若
x
1
<
x
0
<
x
2
,
α=
x
1
+
x
0
2
,
β=
x
0
+
x
2
2
,则有|f(α)-f(β)|<|f(x
1
)-f(x
2
)|成立”的函数是 ______.(写出全部正确结论的序号)
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
函数y=f(x)的图象与y=ln(x-2)的图象关于x=1轴对称,若f(a)=-1,则a的值是( )
A.-e
B.e
C.
-
1
e
D.
1
e
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
科学家以里氏震级来度量地震的强度,若设I为地震时所散发出来的相对能量强度,则里氏震级量度r可定义为
r=
2
3
lgI+2
.2008年5月12日,四川汶川发生的地震是8.0级,而1976年唐山地震的震级为7.8级,那么汶川地震所散发的相对能量是唐山地震所散发的相对能量的______倍.(精确到个位)
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
设函数
f(x)=-a
x
2
+1
+x+a,x∈(0,1],其中a>0
.
(1)若f(x)在(0,1]上是增函数,求a的取值范围;
(2)求f(x)在(0,1]上的最大值.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
在下列五个函数中,①y=2
x
,②y=log2
x
,③y=x
2
,④y=x
-1
,⑤y=cos2x.当0<x
1
<x
2
<1
时,使
f(
x
1
+
x
2
2
)>
f(
x
1
)+f(
x
2
)
2
恒成立的函数是______(将正确序号都填上).
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
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