设函数f（x）=|1-1x|（x＞0），证明：当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，ab＞1．

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设函数f（x）=|1-1x|（x＞0），证明：当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，ab＞1．

题型：解答题难度：一般来源：不详
设函数f（x）=|1-
1
x
|（x＞0），证明：当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，ab＞1．
答案
证明：方法一：由师意f（a）=f（b）⇔|1-
1
a
|=|1-
1
b
|⇔（1-
1
a
）2=（1-
1
b
）2⇔2ab=a+b≥2


ab

故ab-


ab
≥0，即


ab
（


ab
-1）≥0，故


ab
-1≥0，故ab＞1．
方法二：不等式可以变为f（x）=





1
x
-1    x∈(0，1]
1-
1
x
    x∈(1，+∞).

对函数进行分析知f（x）在（0，1]上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．
由0＜a＜b且f（a）=f（b），得0＜a＜1＜b且
1
a
-1=1-
1
b
，
即
1
a
+
1
b
=2⇔a+b=2ab≥2


ab

故ab-


ab
≥0，即


ab
（


ab
-1）≥0，
故


ab
-1≥0，即ab＞1
举一反三
现有一组互不相同且从小到大排列的数据a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中a0=0．记T=a0+a1+a2+a3+a4+a5，xn=
n
5
，yn=
1
T
(a0+a1+…+an)（n=0，1，2，3，4，5），作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连接点Pn（xn，yn）（n=0，1，2，3，4，5）的折线．
（Ⅰ）求f（0）和f（1）的值；
（Ⅱ）设直线Pn-1Pn的斜率为kn（n=1，2，3，4，5），判断k1，k2，k3，k4，k5的大小关系；
（Ⅲ）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜x．
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已知正实数x，y，z满足2x(x+
1
y
+
1
z
)=yz，则(x+
1
y
)(x+
1
z
)的最小值为______．
题型：填空题难度：一般| 查看答案
△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．
（Ⅰ）若b2+c2-a2=
1
2
bc，求cosA的值；
（Ⅱ）若A∈[
π
2
，
2π
3
]，求sin2
B+C
2
+cos2A的取值范围．
题型：解答题难度：一般| 查看答案
函数y=log
1
2
|x-3|的单调递减区间是______．
题型：填空题难度：一般| 查看答案
有下列几个命题：
①函数y=2x2+x+1在（0，+∞）上不是增函数；②函数y=
1
x+1
在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上是减函数；③函数y=


5+4x-x2
的单调区间是[-2，+∞）；④已知f（x）在R上是增函数，若a+b＞0，则有f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）．其中正确命题的序号是______．
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