设函数f(x)=|1-1x|(x>0),证明:当0<a<b,且f(a)=f(b)时,ab>1.

设函数f(x)=|1-1x|(x>0),证明:当0<a<b,且f(a)=f(b)时,ab>1.

题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)=|1-
1
x
|(x>0),证明:当0<a<b,且f(a)=f(b)时,ab>1.
答案
证明:方法一:由师意f(a)=f(b)⇔|1-
1
a
|=|1-
1
b
|⇔(1-
1
a
2=(1-
1
b
2⇔2ab=a+b≥2


ab

故ab-


ab
≥0,即


ab


ab
-1)≥0,故


ab
-1≥0,故ab>1.
方法二:不等式可以变为f(x)=





1
x
-1    x∈(0,1]
1-
1
x
    x∈(1,+∞).

对函数进行分析知f(x)在(0,1]上是减函数,在(1,+∞)上是增函数.
由0<a<b且f(a)=f(b),得0<a<1<b且
1
a
-1=1-
1
b

1
a
+
1
b
=2⇔a+b=2ab≥2


ab

故ab-


ab
≥0,即


ab


ab
-1)≥0,


ab
-1≥0,即ab>1
举一反三
现有一组互不相同且从小到大排列的数据a0,a1,a2,a3,a4,a5,其中a0=0.记T=a0+a1+a2+a3+a4+a5xn=
n
5
yn=
1
T
(a0+a1+…+an)
(n=0,1,2,3,4,5),作函数y=f(x),使其图象为逐点依次连接点Pn(xn,yn)(n=0,1,2,3,4,5)的折线.
(Ⅰ)求f(0)和f(1)的值;
(Ⅱ)设直线Pn-1Pn的斜率为kn(n=1,2,3,4,5),判断k1,k2,k3,k4,k5的大小关系;
(Ⅲ)证明:当x∈(0,1)时,f(x)<x.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知正实数x,y,z满足2x(x+
1
y
+
1
z
)=yz
,则(x+
1
y
)(x+
1
z
)
的最小值为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.
(Ⅰ)若b2+c2-a2=
1
2
bc
,求cosA的值;
(Ⅱ)若A∈[
π
2
3
],求sin2
B+C
2
+cos2A
的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数y=log
1
2
|x-3|的单调递减区间是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
有下列几个命题:
①函数y=2x2+x+1在(0,+∞)上不是增函数;②函数y=
1
x+1
在(-∞,-1)∪(-1,+∞)上是减函数;③函数y=


5+4x-x2
的单调区间是[-2,+∞);④已知f(x)在R上是增函数,若a+b>0,则有f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).其中正确命题的序号是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.