(1)判断函数f(x)=x2+1x在(1,+∞)上的单调性,并用定义法加以证明;(2)若函数f(x)=x2+ax在区间(1,+∞)上的单调递增,求实数a的取值范
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(1)判断函数f(x)=x2+1x在(1,+∞)上的单调性,并用定义法加以证明;(2)若函数f(x)=x2+ax在区间(1,+∞)上的单调递增,求实数a的取值范
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
(1)判断函数
f(x)=
x
2
+
1
x
在(1,+∞)上的单调性,并用定义法加以证明;
(2)若函数
f(x)=
x
2
+
a
x
在区间(1,+∞)上的单调递增,求实数a的取值范围.
答案
(1)f(x)在(1,+∞)上的单调递增 …(2分)
x
1
,x
2
是区间(1,+∞)上的任意两个值,且x
1
<x
2
…(3分)
则x
2
-x
1
>0,x
1
+x
2
>2,x
1
x
2
>1,
1
x
1
x
2
<1
∴
1
x
1
x
2
-(
x
1
+
x
2
)<0
…(5分)
f(
x
1
)-f(
x
2
)=
x
21
+
1
x
1
-(
x
22
+
1
x
2
)
=
(
x
1
+
x
2
)(
x
1
-
x
2
)+
x
2
-
x
1
x
1
x
2
=
(
x
2
-
x
1
)[
1
x
1
x
2
-(
x
1
+
x
2
)]<0
…(7分)
∴f(x
1
)<f(x
2
)∴f(x)在(1,+∞)上的单调递增 …(8分)
(2)
f
/
(x)=2x-
a
x
2
≥0
在区间(1,+∞)上恒成立,∴a≤2x
3
在区间(1,+∞)上恒成立,∴a≤2.…(16分)
举一反三
已知f(x+1)=-f(x)且
f(x)=
1,(-1<x<0)
0,(0≤x<1)
,则f(3)=( )
A.-1
B.0
C.1
D.1或0
题型:单选题
难度:简单
|
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设函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),且对任意的正实数x,y,均有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立.已知f(2)=1,且当x>1时,f(x)>0.
(1)求
f(
1
2
)
的值,试判断y=f(x)在(0,+∞)上的单调性,并加以证明;
(2)一个各项均为正数的数列{a
n
},它的前n项和是S
n
,若a
1
=3,且f(S
n
)=f(a
n
)+f(a
n
+1)-1(n≥2,n∈N
*
),求数列{a
n
}的通项公式;
(3)在(2)的条件下,是否存在实数M,使
2
n
•
a
1
•
a
2
…
a
n
≥M•
2n+3
•(2
a
1
-1)•(2
a
2
-1)…(2
a
n
-1)
对于一切正整数n均成立?若存在,求出M的范围;若不存在,请说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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若定义在R上的偶函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,且f(
1
3
)=2.那么不等式f(
log
1
8
x
)>2的解集为( )
A.
(
1
2
,1)∪(2,+∞)
B.
(0,
1
2
)∪(2,+∞)
C.
(0,
1
2
)
D.(2,+∞)
题型:单选题
难度:简单
|
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设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x
2
x∈[t,t+2],若对任意的,不等式
f(x)≤
1
2
f(x+t)
恒成立,则实数t的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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定义在R上的偶函数f(x)满足:f(x+1)=-f(x),且在[0,1]上是增函数,下面关于f(x)的判断:
①f(x)是周期函数;
②f(x)的图象关于直线x=1对称;
③f(x)在[1,2]上是减函数;
④f(x)在[-2,0]上是减函数.
其中正确的判断是______(把你认为正确的判断都填上).
题型:填空题
难度:一般
|
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