(1)令x=y=1,得f(1)=0;令x=2,y=,得f()=-1(2分) y=f(x)在(0,+∞)上单调递增.下面证明: 任取0<x1<x2,则>1, ∵当x>1时,f(x)>0,∴f()>0 在已知式中令x=x1,y=,得f(x2)-f(x1)=f()>0,即证.(4分) (2)当n≥2时,∵f(Sn)=f(an)+f(an+1)-1 ∴f(Sn)+1=f(an)+f(an+1),即f(2Sn)=f(an(an+1)) ∵y=f(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴2Sn=an(an+1)(6分) ∴2Sn+1=an+1(an+1+1) 两式相减得:2an+1=+an+1--an,即(an+1+an)(an+1-an-1)=0∵an>0, ∴an+1-an=1∴数列{an}从第二项起,是以1为公差的等差数列…(7分) 又在2Sn=an(an+1)中令n=2可得:a2=3 综上,an=.(8分) (3)n=1时,2×3≥M••5,M≤(9分) n≥2时,2n•3•3•4…(n+1)≥M•5•5•7…(2n+1) ∴M≤2n•3•3•4…(n+1) | •5•5•7…(2n+1) |
令bn=2n•3•3•4…(n+1) | •5•5•7…(2n+1) | , 则==>1 ∴{bn}是递增数列 ∴M≤b2=< ∴M≤(12分) |