已知定义在R上的奇函数f(x),在x∈(0,1)时,f(x)=2x4x+1,且f(-1)=f(1).(1)求f(x)在x∈[-1,1]上的解析式;(2)证明:当
试题库
首页
已知定义在R上的奇函数f(x),在x∈(0,1)时,f(x)=2x4x+1,且f(-1)=f(1).(1)求f(x)在x∈[-1,1]上的解析式;(2)证明:当
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知定义在R上的奇函数f(x),在x∈(0,1)时,f(x)=
2
x
4
x
+1
,且f(-1)=f(1).
(1)求f(x)在x∈[-1,1]上的解析式;
(2)证明:当x∈(0,1)时,f(x)<
1
2
;
(3)若x∈(0,1),常数λ∈(2,
5
2
),解关于x的不等式f(x)>
1
λ
.
答案
(1)∵f(x)是R上的奇函数且x∈(0,1)时,f(x)=
2
x
4
x
+1
,
∴当x∈(-1,0)时,f(x)=-f(-x)=
-
2
-x
4
-x
+1
=-
2
x
4
x
+1
,(1分)
又由于f(x)为奇函数,∴f(0)=-f(-0),∴f(0)=0,(2分)
又f(-1)=-f(1),f(-1)=f(1),∴f(-1)=f(1)=0.(3分)
综上所述,当x∈[-1,1]时,f(x)=
-
2
x
4
x
+1
,x∈(-1,0)
2
x
4
x
+1
,x∈(0,1)
0,x∈{-1,1,0}
(4分)
(2)当x∈(0,1)时,f(x)=
2
x
4
x
+1
=
(
2
x
+
1
2
x
)
-1
,(5分)
2
x
+
1
2
x
≥2
,当且仅当
2
x
=
1
2
x
,即x=0取等号.(6分)
∵x∈(0,1),∴不能取等号,
∴f(x)<
1
2
;(8分)
(3)λ∈(2,
5
2
),
1
λ
∈(
2
5
,
1
2
),f(x)>
1
λ
即4
x
-λ•2
x
+1<0,
设t=2
x
∈(1,2),不等式变为t
2
-λt+1<0,∵λ∈(2,
5
2
),∴△=λ
2
-4>0,
∴
λ-
λ
2
-4
2
<t<
λ+
λ
2
-4
2
.(10分)
而当λ∈(2,
5
2
)时,t>0.
综上可知,不等式的解集是(0,log
2
λ+
λ
2
-4
2
).(13分).
举一反三
(理科做)已知函数f(x)=x
3
+ax+b定义在区间[-1,1]上,且f(0)=f(1).又P(x
1
•y
1
)、Q(x
2
•y
2
)是其图象上任意两点(x
1
≠x
2
).
(1)求证:f(x)的图象关于点(0,b)成中心对称图形;
(2)设直线PQ的斜率为k,求证:|k|<2;
(3)若0≤x
1
<x
2
≤1,求证:|y
1
-y
2
|<1.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
函数
f(x)=
1
2
x-sinx
在
[0,
π
2
]
上的最小值是( )
A.
π
12
-
1
2
B.
π
6
-
3
2
C.0
D.
-
1
2
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
已知函数
f(x)=
x+1
-x+3
(x≤1)
(x>1)
,则
f[f(
5
2
)]
的值为( )
A.
5
2
B.
3
2
C.
1
2
D.
-
1
2
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
抛物线y
2
=2x上的一点P(x,y)到点A(a,0)(a∈R)的距离的最小值记为f(a),求f(a)的表达式.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知f(x)的定义域为R
+
,且f(x+y)=f(x)+f(y)对一切正实数x,y都成立,若f(8)=4,则f(2)=( )
A.0
B.1
C.-1
D.2
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
最新试题
2SO2(g)+O2(g)2SO3(g) 是制备硫酸的重要反应。下列叙述正确的是 [ ]A.催化剂V2O5不改变
如图所示,小明用蜡烛、凸透镜和光屏做“探究凸透镜成像规律”的实验。(1)凸透镜的焦距是10cm,当烛焰在图示位置时,移动
近现代中国在学习西方政治模式的历程中,学习对象经历了下列演变A.英日式——美法式——俄国式B.英日式——俄国式——美法式
在25 ℃时,将两个铂电极插入一定量的硫酸钠饱和溶液中进行电解,通电一段时间后,在阳极逸出amol气体,同时有Wg Na
阅读下列材料材料一:我们要竭尽自由人的义务,应当享受自由人的权利。……我们要求普遍选举。……我们要求国会每年改造。普遍选
下列离子方程式的书写正确的是( )A.石英溶于NaOH溶液:Si4++2O2-+2OH-=SiO32-+H2OB.金
太阳系九大行星中,地球的特殊性是( )A.有一个较稳定安全的宇宙环境B.地球的体积和质量与其它行星区别较大C.公转轨道
空气中氧气和氮气的体积比约为( )A.1:5B.1:2C.1:4D.5:1
如图所示,质量均为1kg的两个小物体A、B放在水平地面上相距9m,它们与水平地面的动摩擦因数均为m=0.2,现使它们分别
阅读理解。 Education is an expensive part of American life. I
热门考点
解决水资源空间分布不均的措施是( )A.植树造林B.建防洪大堤C.跨流域调水D.兴修水库
计算(2)2的结果等于______.
下列活动不是人排出体内废物的方式的是( )A.呼出气体B.排汗C.排尿D.排出食物残渣
已知正数x、y满足8x+1y=1,则x+2y的最小值是( )A.18B.16C.8D.10
There was nothing they could do______.A.but wait B.except
__________world we live in is __________world full of colour
下列有关清朝政府实行闭关政策的原因,不正确是A.经济上没有迫切需要B.为维护清王朝的统治C.防御西方殖民势力D.统治者吸
阅读下列材料:1949 年9 月30 日,中国人民政治协商会议第一届全体会议决议建立人民英雄纪念碑。纪念碑碑文是:“三年
从括号内选择适当的词填空。1. This kind of food _______ (is/are) healthy.2
从备选成语中选择恰当的一个填在文中横线上。 多难兴邦。当风雪阻断归路,我们彼此相依,一同取暖;当圣火遭遇屈辱
将来完成进行时的被动语态
传粉和受精
生活中的是非善恶
力的合成与分解
特殊疑问词where的用法
陈述句
长江的水文特征、长江的开发与治理
氧气的制取装置
微量元素
视点视角盲区
超级试练试题库
© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.