(理科做)已知函数f(x)=x3+ax+b定义在区间[-1,1]上,且f(0)=f(1).又P(x1•y1)、Q(x2•y2)是其图象上任意两点(x1≠x2).
题型:解答题难度:一般来源:不详
(理科做)已知函数f(x)=x3+ax+b定义在区间[-1,1]上,且f(0)=f(1).又P(x1•y1)、Q(x2•y2)是其图象上任意两点(x1≠x2). (1)求证:f(x)的图象关于点(0,b)成中心对称图形; (2)设直线PQ的斜率为k,求证:|k|<2; (3)若0≤x1<x2≤1,求证:|y1-y2|<1. |
答案
(1)f(0)=f(1),∴b=1+a+b得a=-1.(1分) f(x)=x3-x+b的图象可由y=x3-x的图象向上(或下)平移b(或-b)个单位二得到. (3分) 又y=x3-x是奇函数,其图象关于原点成中心对称图形,f(x)的图象关于点(0,b)成中心对称图形. (5分) (2)∵点P(x1,y1)、Q(x2,y2)在f(x)=x3-x+b的图象上,k==x2 1-+x 1x 2-1. (7分) 又x1、x2∈[-1,1],x1≠x2∵0<x12+x22+x1x2<3,从而-1<x12+x22+x1x2-1<2 ∴|k|=|x12+x22+x1x2-1|<2 (11分) (3)∵0≤x1<x2≤1,且|y1-y2|<2|x1-x2|=-2(x1-x2),① 又|y1-y2|=|f(x1)-f(x2)|=|f(x1)-f(0)+f(1)-f(x2)|≤|f(x1)-f(0)|+|f(1)-f(x2)|≤2|x1-0|+2|x2-1|=2(x1-0)+2(1-x2)=2(x1-x2)+2② ①+②得2|y1-y2|<2,故|y1-y2|<1(14分) |
举一反三
函数f(x)=x-sinx在[0,]上的最小值是( ) |
抛物线y2=2x上的一点P(x,y)到点A(a,0)(a∈R)的距离的最小值记为f(a),求f(a)的表达式. |
已知f(x)的定义域为R+,且f(x+y)=f(x)+f(y)对一切正实数x,y都成立,若f(8)=4,则f(2)=( ) |
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