设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为实数,且a≠0),F(x)=f(x),&x>0-f(x),x<0.(1)若f(-1)=0,曲线y=f(x

设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为实数,且a≠0),F(x)=f(x),&x>0-f(x),x<0.(1)若f(-1)=0,曲线y=f(x

题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为实数,且a≠0),F(x)=





f(x)
,&x>0
-f(x),x<0.

(1)若f(-1)=0,曲线y=f(x)通过点(0,2a+3),且在点(-1,f(-1))处的切线垂直于y轴,求F(x)的表达式;
(2)在(Ⅰ)在条件下,当时,,求实数k的取值范围;
(3)设mn<0,m+n>0,a>0,且f(x)为偶函数,证明F(m)+F(n)>0.
答案
(Ⅰ)因为f(x)=ax2+bx+c,所以f"(x)=2ax+b.
又曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线垂直于y轴,故f"(-1)=0,
即-2a+b=0,因此b=2a.①
因为f(-1)=0,所以b=a+c.②
又因为曲线y=f(x)通过点(0,2a+3),
所以c=2a+3.③
解由①,②,③组成的方程组,得a=-3,b=-6,c=-3.
从而f(x)=-3x2-6x-3.
所以F(x)=





-3(x+1)2x>0
3(x+1)2x<0.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=-3x2-6x-3,
所以g(x)=kx-f(x)=3x2+(k+6)x+3.
由g(x)在[-1,1]上是单调函数知:-
k+6
6
≤-1
-
k+6
6
≥1

得k≤-12或k≥0
(Ⅲ)因为f(x)是偶函数,可知b=0.
因此.
又因为mn<0,m+n>0,
可知m,n异号.
若m>0,则n<0.
则F(m)+F(n)=f(m)-f(n)=am2+c-an2-c=a(m+n)(m-n)>0.
若m<0,则n>0.
同理可得F(m)+F(n)>0.
综上可知F(m)+F(n)>0.
举一反三
设函数f(x)=ax2+bx+1(a、b∈R)(x∈R)的最小值为f(-1)=0,
(1) 求实数a、b的值;
(2) 当x∈[-2,2]时,求函数ϕ(x)=ax2+btx+1的最大值g(t).
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已知f(x)=x2,g(x)=2x-m,若对∀x1∈[-1,3],∃x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x2+(a+1)x+2(a≠-1),若f(x)=g(x)+h(x),其中g(x)为奇函数,h(x)为偶函数.若函数g(x),f(x)在区间(-∞,1]上均是减函数,则实数a的取值范围是 ______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知f(x)是定义在集合D上的函数,且-1<f′(x)<0.
(1)若f(x)=-
x
2
+asinx
,在[
π
2
,π
]([
π
2
,π
]⊆D)上的最大值为
1-π
4
,试求不等式|ax+1|<a的解集.
(2)若对于定义域中任意的x1,x2,存在正数ε,使|x1-1|<
ε
2
且|x2-1|<
ε
2
,求证:|f(x1)-f(x2)|<ε.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
下列结论正确的是(  )
A.∃x∈R,使2x2-x+1<0成立
B.∀x>0,都有lgx+
1
lgx
≥2
成立
C.函数y=


x2+2
+
1


x2+2
的最小值为2
D.0<x≤2时,函数y=x-
1
x
有最大值为
3
2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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