已知f(x)是定义在集合D上的函数,且-1<f′(x)<0.(1)若f(x)=-x2+asinx,在[π2,π]([π2,π]⊆D)上的最大值为1-π4,试求不
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已知f(x)是定义在集合D上的函数,且-1<f′(x)<0.(1)若f(x)=-x2+asinx,在[π2,π]([π2,π]⊆D)上的最大值为1-π4,试求不
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知f(x)是定义在集合D上的函数,且-1<f′(x)<0.
(1)若
f(x)=-
x
2
+asinx
,在[
π
2
,π
]([
π
2
,π
]⊆D)上的最大值为
1-π
4
,试求不等式|ax+1|<a的解集.
(2)若对于定义域中任意的x
1
,x
2
,存在正数ε,使|x
1
-1|<
ε
2
且|x
2
-1|<
ε
2
,求证:|f(x
1
)-f(x
2
)|<ε.
答案
(1)由于f′(x)<0,则函数f(x)在
[
π
2
,π]
上单调递减,
故
f
max
(x)=f(
π
2
)=-
π
2
2
+asin
π
2
=
1-π
4
,解得a=
1
4
则原不等式为
|
1
4
x+1|<
1
4
,解之得-5<x<-3
故原不等式的解集为(-5,-3);
(2)不妨设x
1
<x
2
,令g(x)=f(x)+x
由于f′(x)>-1,故g′(x)=f′(x)+1>0,则函数g(x)为其定义域上的增函数,
即
g(
x
1
)<g(
x
2
)
,亦即
f(
x
1
)+
x
1
<f(
x
2
)+
x
2
,
则
f(
x
1
)-f(
x
2
)<
x
2
-
x
1
又由函数f(x)在D上递减,则
f(
x
1
)>f(
x
2
)
故
|f(
x
1
)-f(
x
2
)|<
|x
2
-
x
1
|
∵
|f(
x
1
)-f(
x
2
)|<
|x
2
-
x
1
|
=
|(x
2
-1)-(
x
1
-1)|
≤|
x
2
-1|-|
x
1
-1|<
ɛ
2
+
ɛ
2
=ɛ
∴
|f(
x
1
)-f(
x
2
)|<ɛ
举一反三
下列结论正确的是( )
A.∃x∈R,使2x
2
-x+1<0成立
B.∀x>0,都有
lgx+
1
lgx
≥2
成立
C.函数
y=
x
2
+2
+
1
x
2
+2
的最小值为2
D.0<x≤2时,函数y=x-
1
x
有最大值为
3
2
题型:单选题
难度:简单
|
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定义新运算为a∇b=
a+1
b
,则2∇(3∇4)的值是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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对于函数y=f(x),定义域为D,以下命题正确的是(只要求写出命题的序号) ______;
①若f(-1)=f(1),f(-2)=f(2),则y=f(x)是D上的偶函数;
②若f(-1)<f(0)<f(1)<f(2),则y=f(x)是D上的递增函数;
③若f"(2)=0,则y=f(x)在x=2处一定有极大值或极小值;
④若∀x∈D,都有f(x+1)=f(-x+3)成立,则y=f(x)图象关于直线x=2对称.
题型:填空题
难度:简单
|
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已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足:对∀x
1
,x
2
∈(0,+∞)恒有
f(
x
1
x
2
)=f(
x
1
)-f(
x
2
)
,且当x>1时,f(x)<0.
(1)求f(1)的值;
(2)证明:函数f(x)在区间(0,+∞)上为单调递减函数;
(3)若f(3)=-1,
(ⅰ)求f(9)的值;(ⅱ)解不等式:f(3
x
)<-2.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知a为正常数,定义运算“⊗”,如下:对任意m,n∈N
*
,若m⊗n=a,则(m+1)⊗n=2a,m⊗(n+1)=a+1.当1⊗1=1时,则1⊗10=______,5⊗10=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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