对于函数y=f（x），定义域为D，以下命题正确的是（只要求写出命题的序号） ______；①若f（-1）=f（1），f（-2）=f（2），则y=f（x）是D上的
题型：填空题难度：简单来源：不详
对于函数y=f（x），定义域为D，以下命题正确的是（只要求写出命题的序号） ______；
①若f（-1）=f（1），f（-2）=f（2），则y=f（x）是D上的偶函数；
②若f（-1）＜f（0）＜f（1）＜f（2），则y=f（x）是D上的递增函数；
③若f"（2）=0，则y=f（x）在x=2处一定有极大值或极小值；
④若∀x∈D，都有f（x+1）=f（-x+3）成立，则y=f（x）图象关于直线x=2对称． |
答案
对于①，由于f（-1）=f（1），f（-2）=f（2），是y=f（x）在D上的两个函数值，不能保证任意两点之间的对称性，故不对；
对于②f（-1）＜f（0）＜f（1）＜f（2）只是列出了部分函数值大小的关系，无法判断整个区间上的函数值大小，故D不对；
对于③，极值存在的条件是该点处的导数为0，且该点两侧函数的单调性相反，故据③的条件，无法确定在x=2处一定有极大值或极小值；
对于④，由于x+1，-x+3到直线x=2的距离相等，又有已知，其函数值也相等，故y=f（x）图象关于直线x=2对称，④正确．
故答案为④ |
举一反三
已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足：对∀x1，x2∈（0，+∞）恒有f()=f(x1)-f(x2)，且当x＞1时，f（x）＜0．
（1）求f（1）的值；
（2）证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上为单调递减函数；
（3）若f（3）=-1，
（ⅰ）求f（9）的值；（ⅱ）解不等式：f（3x）＜-2． |
| 已知a为正常数，定义运算“⊗”，如下：对任意m，n∈N*，若m⊗n=a，则（m+1）⊗n=2a，m⊗（n+1）=a+1．当1⊗1=1时，则1⊗10=______，5⊗10=______． |
| 已知f（x）是定义在R上的函数，∀x∈R都有f（x+6）=f（x）+8f（得），若函数f（x+个）的图象关于直线x+个=0对称，且f（-8）=80个8，则f（80个8）=（ ） |
| f（x）满足∀x∈R，f(x)≥0，f(x+1)=，当x∈[0，1）时，f(x)=，则f(2011-)=______． |
对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：
①f（x）在[m，n]内是单调函数；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．
则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．
（2）求证：函数y=g(x)=3-不存在“和谐区间”．
（3）已知：函数y=h(x)=（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n-m的最大值． |
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