f(x)满足∀x∈R,f(x)≥0,f(x+1)=7-f2(x),当x∈[0,1)时,f(x)=x+2(0≤x<5-2)5(5-2≤x<1),则f(2011-3
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f(x)满足∀x∈R,f(x)≥0,f(x+1)=7-f2(x),当x∈[0,1)时,f(x)=x+2(0≤x<5-2)5(5-2≤x<1),则f(2011-3
题型:填空题
难度:一般
来源:不详
f(x)满足
∀x∈R,f(x)≥0,f(x+1)=
7-
f
2
(x)
,当x∈[0,1)时,
f(x)=
x+2(0≤x<
5
-2)
5
(
5
-2≤x<1)
,
则f(2011-
3
)
=______.
答案
因为f(x)满足
∀x∈R,f(x)≥0,f(x+1)=
7-
f
2
(x)
⇔f
2
(x+1)+f
2
(x)=7 ①
f
2
(x)+f
2
(x-1)=7 ②
①-②得:f
2
(x+1)-f
2
(x-1)=0⇔f(x+1)+f(x-1)=0(舍)或f(x+1)-f(x-1)=0,
由f(x+1)-f(x-1)=0,式子中的x被x+1代替得:f(x+2)=f(x),利用函数的周期的定义可知函数f(x)的周期T=2,
所以
则f(2011-
3
)
=f(2×
1005+1-
3
)
=f(1-
3
),
又因为当x∈[0,1)时,
f(x)=
x+2(0≤x<
5
-2)
5
(
5
-2≤x<1)
,而f(x)满足
∀x∈R,f(x)≥0,f(x+1)=
7-
f
2
(x)
⇒f
2
(x+1)+f
2
(x)=7⇒
f
2
(1-
3
)=7-
f
2
(2-
3
)
又
f(2-
3
)=4-
3
所以
f(1-
3
)=
7-
f
2
(2-
3
)
=
2
.
故答案为:
2
.
举一反三
对于定义域为D的函数y=f(x),如果存在区间[m,n]⊆D,同时满足:
①f(x)在[m,n]内是单调函数;
②当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是[m,n].
则称[m,n]是该函数的“和谐区间”.
(1)证明:[0,1]是函数y=f(x)=x
2
的一个“和谐区间”.
(2)求证:函数
y=g(x)=3-
5
x
不存在“和谐区间”.
(3)已知:函数
y=h(x)=
(
a
2
+a)x-1
a
2
x
(a∈R,a≠0)有“和谐区间”[m,n],当a变化时,求出n-m的最大值.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足:①∀x,y∈(-∞,0)∪(0,+∞),f(x•y)=f(x)+f(y);②当x>1时,f(x>0),且f(2)=1.
(1)试判断函数f(x)的奇偶性;
(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性;
(3)求函数f(x)在区间[-4,0)∪(0,4]上的最大值;
(4)求不等式f(3x-2)+f(x)≥4的解集.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知f(x)是定义在实数集R上的奇函数,对∀x∈R,f(x-2)=f(x+2),当x∈(0,2)时,f(x)=x
2
,则f(
13
2
)=( )
A.-
9
4
B.-
1
4
C.
1
4
D.
9
4
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
已知f(x)为偶函数,且f(2+x)=f(2-x),当-2≤x≤0时,f(x)=2
x
,若n∈N
*
,a
n
=f(n),则a
2011
= .
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
下列四个结论:
(1)函数f(x)=
x-2
+
1-x
的定义域为∅;
(2)函数是其定义域到值域的映射;
(3)函数y=2x(x∈N)的图象是一直线;
(4)函数
f(x)=
1
x
在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数.
其中正确的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
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