已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足:①∀x,y∈(-∞,0)∪(0,+∞),f(x•y)=f(x)+f(y);②当x>1时,f(x>0),
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足:①∀x,y∈(-∞,0)∪(0,+∞),f(x•y)=f(x)+f(y);②当x>1时,f(x>0),且f(2)=1. (1)试判断函数f(x)的奇偶性; (2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性; (3)求函数f(x)在区间[-4,0)∪(0,4]上的最大值; (4)求不等式f(3x-2)+f(x)≥4的解集. |
答案
(1)令x=y=1,则f(1×1)=f(1)+f(1),得f(1)=0; 再令x=y=-1,则f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1),得f(-1)=0. 对于条件f(x•y)=f(x)+f(y),令y=-1, 则f(-x)=f(x)+f(-1),所以f(-x)=f(x). 又函数f(x)的定义域关于原点对称,所以函数f(x)为偶函数.(3分) (2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则有>1. 又∵当x>1时,f(x)>0, ∴f(>0.) 而f(x2)=f(x1•)=f(x1)+f()>f(x1), 所以函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.(6分) (3)∵f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2),又f(2)=1, ∴f(4)=2. 又由(1)知函数f(x)在区间[-4,0)∪(0,4]上是偶函数且在(0,4]上是增函数, ∴函数f(x)在区间[-4,0)∪(0,4]上的最大值为f(4)=f(-4)=2(9分) (4)∵f(3x-2)+f(x)=f[x(3x-2)],4=2+2=f(4)+f(4)=f(16) ∴原不等式等价于f[x(3x-2)]≥f(16) 又函数f(x)为偶函数,且函数f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴原不等式又等价于|x(3x-2)|≥16, 即x(3x-2)≥16或x(3x-2)≤-16, ∴不等式f(3x-2)+f(x)≥4的解集为{x|x≤-2,或x≥}(12分) |
举一反三
已知f(x)是定义在实数集R上的奇函数,对∀x∈R,f(x-2)=f(x+2),当x∈(0,2)时,f(x)=x2,则f()=( ) |
已知f(x)为偶函数,且f(2+x)=f(2-x),当-2≤x≤0时,f(x)=2x,若n∈N*,an=f(n),则a2011= . |
下列四个结论: (1)函数f(x)=+的定义域为∅; (2)函数是其定义域到值域的映射; (3)函数y=2x(x∈N)的图象是一直线; (4)函数f(x)=在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数. 其中正确的个数是( ) |
f(x)是R上的奇函数,且f(x+2)=-f(x)({x∈R}),当0<x<1时,f(x)=x,则f(3.5)=______. |
已知函数f(x)的定义域为I,导数fn(x)满足0<f(x)<2且fn(x)≠1,常数c1为方程f(x)-x=0的实数根,常数c2为方程f(x)-2x=0的实数根. (1)若对任意[a,b]⊆I,存在x0∈(a,b),使等式f(b)-f(a)=(b-a)fn(x0)成立.求证:方程f(x)-x=0不存在异于c1的实数根; (2)求证:当x>c2时,总有f(x)<2x成立; (3)对任意x1、x2,若满足|x1-c1|<1,|x2-c1|<1,求证:|f(x1)-f(x2)|<4. |
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