(13分,理科做)已知函数的定义域为,且同时满足:①;②恒成立;③若,则有.(1)试求函数的最大值和最小值;(2)试比较与的大小N);(3)某人发现:当x=(n

(13分,理科做)已知函数的定义域为,且同时满足:①;②恒成立;③若,则有.(1)试求函数的最大值和最小值;(2)试比较与的大小N);(3)某人发现:当x=(n

题型:解答题难度:简单来源:不详

(13分,理科做)已知函数的定义域为,且同时满足:①;②恒成立;③若,则有
(1)试求函数的最大值和最小值;
(2)试比较的大小N);
(3)某人发现:当x=(nÎN)时,有f(x)<2x+2.由此他提出猜想:对一切xÎ(0,1,都有,请你判断此猜想是否正确,并说明理由.
答案
(理)解: (1)设0≤x1<x2≤1,则必存在实数tÎ(0,1),使得x2=x1+t,
由条件③得,f(x2)=f(x1+t)³f(x1)+f(t)-2,
∴f(x2)-f(x1)³f(t)-2,
由条件②得, f(x2)-f(x1)³0,
故当0≤x≤1时,有f(0)≤f(x)≤f(1).
又在条件③中,令x1=0,x2=1,得f(1)³f(1)+f(0)-2,即f(0)≤2,∴f(0)=2,
故函数f(x)的最大值为3,最小值为2.
(2)解:在条件③中,令x1=x2=,得f()³2f()-2,即f()-2≤[f()-2],  
故当nÎN*时,有f()-2≤[f()-2]≤[f()-2]≤···≤[f()-2]=,
即f()≤+2.
又f()=f(1)=3≤2+,所以对一切nÎN,都有f()≤+2.
(3)对一切xÎ(0,1,都有.对任意满足xÎ(0,1,总存在n(nÎN),使得
<x≤, 根据(1)(2)结论,可知:f(x)≤f()≤+2,
且2x+2>2´+2=+2,故有.
综上所述,对任意xÎ(0,1,恒成立. 
解析

举一反三
..(本小题满分14分)定义在上的函数,如果满足;对任意,存在常数,都有成立,则称上的有界函数,其中称为函数的上界.已知函数.
(Ⅰ)当时,求函数上的值域,并判断函数上是否为有界函数,请说明理由;
(Ⅱ)若上的有界函数,且的上界为3,求实数的取值范围;
(Ⅲ)若,求函数上的上界的取值范围.
题型:解答题难度:简单| 查看答案
已知函数,则=      .
题型:填空题难度:简单| 查看答案
设函数的定义域为,若存在非零实数满足,均有,且,则称上的高调函数.如果定义域为的函数是奇函数,当时,,且上的高调函数,那么实数的取值范围是(   )
A.B.C.D.

题型:单选题难度:简单| 查看答案
,实数a满足>0,那么当x>1时必有(   )
A.B.
C.D.

题型:单选题难度:简单| 查看答案
若函数在区间为整数)上的值域是,则满足条件的数对共有  ▲  对;
题型:填空题难度:简单| 查看答案
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