已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且满足下列条件：①对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3，且f（1）=4；②若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且满足下列条件：
①对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3，且f（1）=4；
②若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-3．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）求证：f（x）≤4；
（Ⅲ）当x∈(

1

3n

，

1

3n-1

](n=1，2，3，…)时，试证明：f（x）＜3x+3．

答案

（Ⅰ）令x₁=x₂=0，
由①对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3，∴f（0）≥3（1分）
又由②得f（0）≥2f（0）-3，即f（0）≤3；（2分）
∴f（0）=3．（3分）
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈[0，1]，且设x₁＜x₂，
则f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]≥f（x₁）+f（x₂-x₁）-3，
因为x₂-x₁＞0，所以f（x₂-x₁）≥3，即f（x₂-x₁）-3≥0，
∴f（x₁）≤f（x₂）．（5分）
∴当x∈[0，1]时，f（x）≤f（1）=4．（6分）

（Ⅲ）证明：先用数学归纳法证明：f(

1

3n-1

)≤

1

3n-1

+3(n∈N*)
（1）当n=1时，f(1)=f(

1

30

)=4=1+3=

1

30

+3（2），不等式成立；（7分）
（3）假设当n=k时，f(

1

3k-1

)≤

1

3k-1

+3(k∈N*)（4）
由f(

1

3k-1

)=f[

1

3k

+(

1

3k

+

1

3k

)]≥f(

1

3k

)+f(

1

3k

+

1

3k

)-3≥f(

1

3k

)+f(

1

3k

)+f(

1

3k

)-6
得3f(

1

3k

)≤f(

1

3k-1

)+6≤

1

3k-1

+9.
即f(

1

3k

)≤

1

3k

+3.
所以，当n=k+1时，不等式成立；（10分）
由（1）、（2）可知，不等式f(

1

3n-1

)≤

1

3n-1

+3对一切正整数都成立．（11分）
于是，当x∈(

1

3n

，

1

3n-1

](n=1，2，3，)时，3x+3＞3×

1

3n

+3=

1

3n-1

+3≥f(

1

3n-1

)，
所以，f(x)≤f(

1

3n-1

)≤3x+3.（13分）