设函数f(x)=2x2+2xx2+1,函数g(x)=ax2+5x-2a.(1)求f(x)在[0,1]上的值域;(2)若对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0
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设函数f(x)=2x2+2xx2+1,函数g(x)=ax2+5x-2a.(1)求f(x)在[0,1]上的值域;(2)若对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设函数f(x)=
2
x
2
+2x
x
2
+1
,函数g(x)=ax
2
+5x-2a.
(1)求f(x)在[0,1]上的值域;
(2)若对于任意x
1
∈[0,1],总存在x
0
∈[0,1],使得g(x
0
)=f(x
1
)成立,求a的取值范围.
答案
(1)y=
2
x
2
+2x
x
2
+1
=
2(
x
2
+1)+2x-2
x
2
+1
=2+
2(x-1)
x
2
+1
,
令x-1=t,则x=t+1,t∈[-1,0],y=2+
2t
t
2
+2t+2
,
当t=0时,y=2;当t∈[-1,0),y=2+
2
t+
2
t
+2
,
由对勾函数的单调性得y∈[0,2),故函数在[0,1]上的值域是[0,2];
(2)f(x)的值域是[0,2],要g(x
0
)=f(x
1
)成立,则[0,2]⊆{y|y=g(x),x∈[0,1]}
①当a=0时,x∈[0,1],g(x)=5x∈[0,5],符合题意;
②当a>0时,函数g(x)的对称轴为x=-
5
2a
<0,故当x∈[0,1]时,函数为增函数,则g(x)的值域是[-2a,5-a],由条件知[0,2]⊆[-2a,5-a],∴
a>0
-2a≤0
5-a≥2
⇒0<a≤3;
③当a<0时,函数g(x)的对称轴为x=-
5
2a
>0.
当0<-
5
2a
<1,即a<-
5
2
时,g(x)的值域是[-2a,
-8
a
2
-25
4a
]或[5-a,
-8
a
2
-25
4a
],
由-2a>0,5-a>0知,此时不合题意;当-
5
2a
≥1,即-
5
2
≤a<0时,g(x)的值域是[-2a,5-a],
由[0,2]⊆[-2a,5-a]知,由-2a>0知,此时不合题意.
综合①②③得0≤a≤3.
举一反三
已知0<x<1,则x(3-3x)取得最大值时x的值为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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设函数
f(x)=
9
x
9
x
+3
,计算和
f(
1
2009
)+f(
2
2009
)+…+f(
2008
2009
)
=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)满足:
f(1)=
1
4
,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R)
,则f(2012)=( )
A.
1
4
B.
-
1
4
C.
1
2
D.
-
1
2
题型:单选题
难度:简单
|
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已知0<x<
4
3
,求x(4-3x)的最大值______
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=a-
b
|x|
(x≠0)
.
(1)若函数f(x)是(0,+∞)上的增函数,求实数b的取值范围;
(2)当b=2时,若不等式f(x)<x在区间(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围;
(3)对于函数g(x)若存在区间[m,n](m<n),使x∈[m,n]时,函数g(x)的值域也是[m,n],则称g(x)是[m,n]上的闭函数.若函数f(x)是某区间上的闭函数,试探求a,b应满足的条件.
题型:解答题
难度:一般
|
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