已知函数f（x）满足：f(1)=14，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x，y∈R)，则f（2012）=（　　）A．14B．-14C．12D．-1

题型：单选题难度：简单来源：不详

已知函数f（x）满足：f(1)=

，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x，y∈R)，则f（2012）=（　　）

A．

B．-

C．

D．-

答案

∵4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）
取x=1，y=0得f（0）=

法一：∵f（1）=

取x=1，y=1得f（2）=-

取x=2，y=1得f（3）=-

取x=2，y=2得f（4）=-

取x=3，y=2得f（5）=-

取x=3，y=3得f（6）=

猜想得周期为6
∴f（2012）=f（2）=-

法二：取x=1，y=0得f（0）=

取x=n，y=1，有f（n）=f（n+1）+f（n-1），
同理f（n+1）=f（n+2）+f（n）
联立得f（n+2）=-f（n-1）
所以f（n）=-f（n+3）=f（n+6）
所以函数是周期函数，周期T=6，
故f（2012）=f（2）=-

故选B

举一反三

已知0＜x＜

，求x（4-3x）的最大值______

题型：填空题难度：一般| 查看答案

已知函数f(x)=a-

|x|

(x≠0)．
（1）若函数f（x）是（0，+∞）上的增函数，求实数b的取值范围；
（2）当b=2时，若不等式f（x）＜x在区间（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）对于函数g（x）若存在区间[m，n]（m＜n），使x∈[m，n]时，函数g（x）的值域也是[m，n]，则称g（x）是[m，n]上的闭函数．若函数f（x）是某区间上的闭函数，试探求a，b应满足的条件．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

已知二次函数g（x）的图象经过坐标原点，且满足g（x+1）=g（x）+2x+1，设函数f（x）=mg（x）-ln（x+1），其中m为非零常数
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）当-2＜m＜0时，判断函数f（x）的单调性并且说明理由；
（3）证明：对任意的正整数n，不等式ln(

+1)＞

恒成立．

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已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且满足下列条件：
①对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3，且f（1）=4；
②若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-3．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）求证：f（x）≤4；
（Ⅲ）当x∈(

，

3n-1

](n=1，2，3，…)时，试证明：f（x）＜3x+3．

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函数f（x）=1+log₂x与y=g（x）的图象关于直线y=x对称，则g（3）=______．

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已知函数f（x）满足：f(1)=14，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x，y∈R)，则f（2012）=（ ）A．14B．-14C．12D．-1