已知二次函数g（x）的图象经过坐标原点，且满足g（x+1）=g（x）+2x+1，设函数f（x）=mg（x）-ln（x+1），其中m为非零常数（1）求函数g（x）

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知二次函数g（x）的图象经过坐标原点，且满足g（x+1）=g（x）+2x+1，设函数f（x）=mg（x）-ln（x+1），其中m为非零常数
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）当-2＜m＜0时，判断函数f（x）的单调性并且说明理由；
（3）证明：对任意的正整数n，不等式ln(

1

n

+1)＞

1

n2

-

1

n3

恒成立．

答案

（1）设g（x）=ax²+bx+c，g（x）的图象经过坐标原点，所以c=0．
∵g（x+1）=g（x）+2x+1∴a（x+1）²+b（x+1）=ax²+bx+2x+1
即：ax²+（2a+b）x+a+b=ax²+（b+2）x+1
∴a=1，b=0，g（x）=x²；
（2）函数f（x）=mx²-ln（x+1）的定义域为（-1，+∞）．f′(x)=2mx-

1

x+1

=

2mx2+2mx-1

x+1

，
令k（x）=2mx²+2mx-1，k(x)=2m(x+

1

2

)2-

m

2

-1，k(x)max=k(-

1

2

)=-

m

2

-1，
∵-2＜m＜0，∴k(x)max=-

m

2

-1＜0，k（x）=2mx²+2mx-1＜0在（-1，+∞）上恒成立，
即f′（x）＜0，当-2＜m＜0时，函数f（x）在定义域（-1，+∞）上单调递减．
（3）当m=1时，f（x）=x²-ln（x+1）．，令h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1），
则h′(x)=

3x3+(x-1)2

x+1

在[0，+∞）上恒正，
∴h（x）在[0，+∞）上单调递增，当x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0．，
即当x∈（0，+∞）时，有x³-x²+ln（x+1）＞0，ln（x+1）＞x²-x³，
对任意正整数n，取x=

1

n

得ln(

1

n

+1)＞

1

n2

-

1

n3

．