已知不等式2(2a+3)cos(θ-π4)+6sinθ+cosθ-2sin2θ<3a+6对于θ∈[0,π2]恒成立,求a的取值范围.
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已知不等式2(2a+3)cos(θ-π4)+6sinθ+cosθ-2sin2θ<3a+6对于θ∈[0,π2]恒成立,求a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知不等式
2
(2a+3)cos(θ-
π
4
)+
6
sinθ+cosθ
-2sin2θ<3a+6对于
θ∈[0,
π
2
]
恒成立,求a的取值范围.
答案
设sinθ+cosθ=x,则
cos(θ-
π
4
)=
2
2
x,sin2θ=
x
2
-1,x∈[1,
2
]
从而原不等式可化为:
(2a+3)x+
6
x
-2(
x
2
-1)<3a+6
即
2
x
2
-2ax-3x-
6
x
+3a+4>0,2x(x+
2
x
-a)-3(x+
2
x
-a)>0
,
(2x-3)(x+
2
x
-a)>0(x∈[1,
2
])(1)
∴原不等式等价于不等式(1)∵
x∈[1,
2
]
,∴2x-3<0
(1)不等式恒成立等价于
x+
2
x
-a<0(x∈[1,
2
])
恒成立.
从而只要
a>(x+
2
x
)
max
(x∈[1,
2
])
.
又容易知道
f(x)=x+
2
x
在
[1,
2
]
上递减,∴
(x+
2
x
)
max
=3(x∈[1,
2
])
.
所以a>3.
举一反三
已知函数f(x)=
2-x
x+1
.
(1)用单调性的定义证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为减函数;
(2)若关于x的方程f(x)-3
x
-m=0在x∈[1,+∞)上有解,求实数m的最大值;
(3)是否存在负数x
0
,使得f(x
0
)=
3
x
0
成立,若存在求出x
0
;若不存在,请说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知f(n)=1+3+5+…+(2n-5),且n是大于2的正整数,则f(10)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
设函数f(x)=
2
x
2
+2x
x
2
+1
,函数g(x)=ax
2
+5x-2a.
(1)求f(x)在[0,1]上的值域;
(2)若对于任意x
1
∈[0,1],总存在x
0
∈[0,1],使得g(x
0
)=f(x
1
)成立,求a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知0<x<1,则x(3-3x)取得最大值时x的值为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
设函数
f(x)=
9
x
9
x
+3
,计算和
f(
1
2009
)+f(
2
2009
)+…+f(
2008
2009
)
=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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