已知函数f(x)=2-xx+1.(1)用单调性的定义证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为减函数;(2)若关于x的方程f(x)-3x-m=0在x∈[1,+∞)上
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已知函数f(x)=2-xx+1.(1)用单调性的定义证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为减函数;(2)若关于x的方程f(x)-3x-m=0在x∈[1,+∞)上
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=
2-x
x+1
.
(1)用单调性的定义证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为减函数;
(2)若关于x的方程f(x)-3
x
-m=0在x∈[1,+∞)上有解,求实数m的最大值;
(3)是否存在负数x
0
,使得f(x
0
)=
3
x
0
成立,若存在求出x
0
;若不存在,请说明理由.
答案
(1)设0<x
1
<x
2
,则f(x
1
)-f(x
2
)=
3(
x
2
-
x
1
)
(
x
1
+1)(
x
2
+1)
∵0<x
1
<x
2
,∴x
2
-x
1
>0,x
1
+1>0,x
2
+1>0
∴f(x
1
)-f(x
2
)>0
∴函数f(x)在(-1,+∞)上为减函数;
(2)方程f(x)-3
x
-m=0等价于m=f(x)-3
x
,
由于m=f(x)-3
x
在x∈[1,+∞)上 单调减
∴
m≤
1
2
-3=-2
1
2
∴实数m的最大值为
-2
1
2
;
(3)不存在
假设存在负数x
0
,则:因为x
0
为负数,所以0<3
x
<1,所以
0<
2-x
x+1
<1
,
∴
1
2
<x<2
,与前面的假设相矛盾,
所以,不存在负数x
0
,使得f(x
0
)=
3
x
0
成立,
举一反三
已知f(n)=1+3+5+…+(2n-5),且n是大于2的正整数,则f(10)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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设函数f(x)=
2
x
2
+2x
x
2
+1
,函数g(x)=ax
2
+5x-2a.
(1)求f(x)在[0,1]上的值域;
(2)若对于任意x
1
∈[0,1],总存在x
0
∈[0,1],使得g(x
0
)=f(x
1
)成立,求a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知0<x<1,则x(3-3x)取得最大值时x的值为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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设函数
f(x)=
9
x
9
x
+3
,计算和
f(
1
2009
)+f(
2
2009
)+…+f(
2008
2009
)
=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数f(x)满足:
f(1)=
1
4
,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R)
,则f(2012)=( )
A.
1
4
B.
-
1
4
C.
1
2
D.
-
1
2
题型:单选题
难度:简单
|
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