已知定义域为R的函数y=f(x)满足f(x+1)f(x-1)=1,且f(2)=3,则f(2010)=______.

已知定义域为R的函数y=f(x)满足f(x+1)f(x-1)=1,且f(2)=3,则f(2010)=______.

题型:填空题难度:一般来源:眉山一模
已知定义域为R的函数y=f(x)满足f(x+1)f(x-1)=1,且f(2)=3,则f(2010)=______.
答案
由题意知,对于任意的实数都有f(x+1)f(x-1)=1,
令x=1代入上式得,f(2)f(0)=1,
∵f(2)=3,∴f(0)=
1
3

再用x+1代换x,代入上式可得,f(x+2)f(x)=1,则f(x+2)=
1
f(x)

f(x+4)=
1
f(x+2)
=f(x),∴f(x)是周期函数且周期是4,
∴f(2010)=f(4×502+2)=f(2)=3.
故答案为 3.
举一反三
已知函数f(x)=





-x2+1   ,x<1
log2x   ,x≥1
,若f(a)=1,则a=______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
给定函数①y=x -
1
2
,②y=2 x2-3x+3,③y=log 
1
2
|1-x|,④y=sin
πx
2
,其中在(0,1)上单调递减的个数为(  )
A.0B.1个C.2个D.3个
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=





tan
π
3
x,x<2010
x-2010,x>2010
,则f[f(2013)]=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数y=log2(x2-x-2)的递增区间是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知奇函数f(x)是定义在(-3,3)上的减函数,且满足不等式f(x-3)+f(x2-3)<0,则不等式解集______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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