已知函数f（x）=x2+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠-2）．（1）写出一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x），使f（x）=g（x）+h（x）；（
题型：解答题难度：一般来源：静安区一模
已知函数f（x）=x2+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠-2）．
（1）写出一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x），使f（x）=g（x）+h（x）；
（2）对（1）中的g（x）．命题P：函数f（x）在区间[（a+1）2，+∞）上是增函数；命题Q：函数g（x）是减函数；如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求f（2）的取值范围． |
答案
（1）由题意可得 h（x）=x2+lg|a+2|； g（x）=（a+1）x．
（2）由二次函数f（x））=x2+（a+1）x+lg|a+2|的图象是开口向上的抛物线，且的对称轴为 x=-，
在区间[（a+1）2，+∞）上是增函数，故有 -≤(a+1)2，解得a≤-或a≥-1，因为a≠-2．
由函数g（x）是减函数得a+1＜0，解得a＜-1，a≠-2．
当命题P真且命题Q假时，由，解得a≥-1．
当命题P假且命题Q真时，由，即得-＜a＜-1．
故当命题P、Q有且仅有一个是真命题，得a的取值范围是[-1，+∞)∪(-，-1)=(-，+∞)．
（3）f（2）=4+2a+2+lg|a+2|=6+2a+lg（a+2），因为在a∈(-，+∞)上递增，
所以，f(2)＞6+2•(-)+lg(-+2)=3-lg2，即：f（2）∈（3-lg2，+∞）． |
举一反三
设函数f（x）=ax+3a（其中a＞0且a≠1）．
（1）求函数y=f-1（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=loga（x-a），h（x）=f-1（x）+g（x），如果当x∈[a+2，+∞）时，h（x）≤1恒成立，求a的取值范围． |
已知函数f(x)=， 其中 a∈R．
（1）当a=1时，求函数满足f（x）≤1时的x的集合；
（2）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数． |
函数y=f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，且对于任意的x、y∈R，都满足f（x）•f（y）=f（x+y），则下列四个结论中，正确的个数是（ ）
（1）f（0）=0； （2）对任意x∈R，都有f（x）＞0； （3）f（0）=1；
（4）若x＜0时，有f（x）＞f（0），则f（x）在R上的单调递减． |
| 给出下列命题：（1）函数y=x+的最小值是2； （2）函数y=x+2-3的最小值是-2；（3）函数y=的最小值是；（4）函数y=在（-∞，0）∪（0，+∞）内递减；（5）幂函数y=x为偶函数且在（-∞，0）内递增；其中真命题的序号有：______ （你认为正确命题的序号都填上） |
阅读不等式2x+1＞3x的解法：
设f(x)=()x+()x，函数y=()x和y=()x在R内都单调递减；则f（x）在（-∞，+∞）内单调递减．
∵f（1）=1，∴当x＜1时，()x+()x＞1，当x≥1时，()x+()x≤1．
∵3x＞0，∴不等式2^+1＞3x的解为x＜1；
（1）试利用上面的方法解不等式2x+3x≥5x；
（2）证明：3x+4x=5x有且仅有一个实数解x=2． |
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