已知函数f(x)(x∈R)的最小正周期为2,且对任意实数x,f(2-x)=f(2+x),且[a,b](a<b)是f(x)的一个单调区间.(1)求证:b-a≤1;
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)(x∈R)的最小正周期为2,且对任意实数x,f(2-x)=f(2+x),且[a,b](a<b)是f(x)的一个单调区间. (1)求证:b-a≤1; (2)已知区间[0,1]为f(x)的一个单调区间,且对任意x<0,都有f(2x)>f(2),解关于实数x的不等式f(-10.5)>f(x2+6x). |
答案
证明:(1)假设b-a>1,则b>a+1, 不妨取特殊值a=0,则b>1, ∵f(2-x)=f(2+x),∴f(4-b)=f(b), 又函数f(x)(x∈R)的最小正周期为2, ∴f(4-b)=f(2-b) ∴f(2-b)=f(b) 而区间[0,b]是f(x)的一个单调区间,⇒f(2-b)≠f(b), 这与f(2-b)=f(b)矛盾,故假设不成立, ∴b-a≤1; (2)∵对任意x<0,都有f(2x)>f(2)=f(0), 其中0<2x<1, ∴区间[0,1]为f(x)的一个单调增区间, ∵函数f(x)(x∈R)的最小正周期为2, ∴f(2-x)=f(-x),f(x)=f(2+x), 且对任意实数x,f(2-x)=f(2+x), ∴f(-x)=f(x),函数f(x)是偶函数, ∵区间[0,1]为f(x)的一个单调增区间,根据偶函数的对称性得: 区间[-1,0]为f(x)的一个单调减区间, 根据函数的周期性得:区间[1,2]为f(x)的一个单调减区间, 又不等式f(-10.5)>f(x2+6x)可化成: f(1.5)>f(x2+6x). 在一个周期长的区间[0,2)上考虑此不等式的解,有: 0≤x2+6x≤或≤x2+6x<2, 解之得:≤x≤-6或0≤x≤;或-3-<x≤或≤x<-3+. 根据函数的周期性得: 不等式f(-10.5)>f(x2+6x)在R上的解是: +2k≤x≤-6+2k或+2k≤x≤+2k;或-3-+2k<x≤+2k或+2k≤x<-3++2k.k∈Z. |
举一反三
对定义在实数集R上的函数f1(x),f2(x),令F(x)=f1(x)+f2(x),已知对任意不同的实数x1,x2,|f1(x1)-f1(x2)|>|f2(x1)-f2(x2)|. (1)若y=f1(x)是区间D上的增函数,能否确定y=F(x)是区间D上的增函数?若能够确定,说明理由;若不能,请举例说明; (2)若y=f2(x)是区间D上的增函数,能否确定y=F(x)是区间D上的增函数?若能够确定,说明理由;若不能,请举例说明; (3)求函数f(x)=x2+(x>0)的单调区间. |
记不超过x的最大整数为[x],令{x}=x-[x],则函数y={x}: ①定义域为R; ②值域为[0,1]; ③在定义域上是单调增函数; ④是周期为1的周期函数; ⑤是奇函数. 其中正确判断的序号是______(把所有正确的序号都填上). |
函数f(x)=ax(a>0且a≠1)是R上的减函数,则a的取值范围( )A.(0,1) | B.[0,1) | C.(0,1] | D.[0,1] |
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函数f(x)=,x∈[-1,+∞)是增函数的一个充分非必要条件是( )A.a<1且b>3 | B.a>-1且b>1 | C.a>1且b>-1 | D.a<-2且b<2 |
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(理) 已知函数f(x)=x3+x,关于x的不等式f(mx-2)+f(x)<0在区间[1,2]上有解,则实数m的取值范围为______. |
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