已知函数f(x)=x+12-x，x∈[3，5]，（1）判断函数的单调性，并用定义证明；　　　（2）求函数的最大值和最小值．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

x+1

2-x

，x∈[3，5]，
（1）判断函数的单调性，并用定义证明；　　　
（2）求函数的最大值和最小值．

答案

（1）f（x）在[3，5]上为增函数．证明如下：…（2分）
设x₁，x₂是区间[3，5]上的任意两个实数且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

x1+1

2-x1

-

x2+1

2-x2

=

3(x1-x2)

(2-x1)(2-x2)

…（4分）
∵3≤x₁＜x₂≤5∴2-x₁＜0，2-x₂＜0　x₁-x₂＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0　　即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在[3，5]上为增函数…（8分）
（2）由（1）f（x）在[3，5]上为增函数，
所以f（x）在[3，5]上有最大值f（5）=-2，有最小值f（3）=-4…（12分）