设f(x)是定义在R上的函数,对m、n∈R恒有x>0,f(m+n)=f(m)f(n),且当 x>0时,0<f(x)<1.(1)求f(0)的值;
题型:解答题难度:一般来源:不详
设f(x)是定义在R上的函数,对m、n∈R恒有x>0,f(m+n)=f(m)f(n),且当 x>0时,0<f(x)<1. (1)求f(0)的值; (2)证明:x∈R时,恒有f(x)>0; (3)求证:f(x)在R上是减函数; (4)若f(x)-f(2-x)>1,求x的范围. |
答案
(1)∵对任意m,n∈R恒有f(m+n)=f(m)•f(n), ∴令m=0,可得f(n)=f(0)•f(n), 由f(n)的任意性,可得f(0)=1 ∴f(0)的值为1; (2)由(1)中结论,令m=-n 则f(0)=f(-n+n)=f(-n)•f(n)=1,可得f(-n)= 因此,f(x)与f(-x)互为倒数, ∵当x>0时,0<f(x)<1,∴当x<0时,0<<1,即f(x)>1, 又∵x=0时,f(0)=1 ∴当x∈R时恒有f(x)>0; (3)设x1>x2,可得 f(x1)=f(x2+(x1-x2))=f(x2)•f(x1-x2) 由(2)知当x∈R时,恒有f(x)>0, 根据=f(x1-x2)<1,可得0<f(x1)<f(x2) 因此,f(x)在R上是减函数; (4)∵f(x)-f(2-x)=f(),f(0)=1, ∴不等式f(x)-f(2-x)>1,即f()>f(0), ∵f(x)在R上是减函数,∴<0,解之得x<0或x>2 因此,所求x的取值范围为(-∞,0)∪(2,+∞). |
举一反三
证明:函数f(x)=x2-在区间(0,+∞)上是增函数. |
已知函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,g(x)=-f(|x|),若g(lgx)>g(1),则x的取值范围是______. |
设函数f(x)=(a∈R). (1)当a=1时,求满足f(x)>2的x的集合 (2)求a的取值范围,使f(x)在区间(0,+∞)上是单调递增函数. |
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