已知函数 f（x）=x2++alnx（x＞0），f（x）的导函数是f′（x）。对任意两个不相等的正数x1、x2，证明：（1）当a≤0时，；（2）当a≤4时，|f

题型：四川省高考真题难度：来源：

已知函数 f（x）=x²++alnx（x＞0），f（x）的导函数是f′（x）。对任意两个不相等的正数x₁、x₂，证明：
（1）当a≤0时，；
（2）当a≤4时，|f′（x₁）-f′（x₂）|＞|x₁-x₂|。

答案

解：（1）由
得


而 ①
又
∴ ②
∵
∴
∵
∴ ③
由①、②、③得

即。
（2）由得
∴


下面证明对任意两个不相等的正数，有
恒成立
即证成立
∵
设
则
令得
列表如下：

则
∴
∴对任意两个不相等的正数，恒有
。