已知f(x)是定义在R上的函数,且满足下列条件:①对任意的x、y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y);②当x>0时,f(x)<0.(1)证明f(x)在R上是减
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)是定义在R上的函数,且满足下列条件: ①对任意的x、y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y); ②当x>0时,f(x)<0. (1)证明f(x)在R上是减函数; (2)在整数集合内,关于x的不等式f(x2-4)-f(2x-2a)>f(0)的解集为{1},求实数a的取值范围. |
答案
(1)当时x=y=0,f(0)=f(0)+f(0), 得f(0)=0,令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x) ∴f(-x)=-f(x)∴f(x)在R上是奇函数, 设x1>x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2) =f(x1-x2)<0 ∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在R上是减函数(6分) (2)f(x2-4)-f(2x-2a)>f(0)等价于 x2-4<2x-2a即x2-2x+2a-4<0(8分) 令g(x)=x2-2x+2a-4 根据题意,的实数a的取值范围为2≤a< ∴a∈[2,)(12分) |
举一反三
f(x)为(-1,1)上的奇函数且单调递减,若f(1-t)+f(1-t2)>0求t的范围. |
阅读下列一段材料,然后解答问题:对于任意实数x,符号[x]表示“不超过x的最大整数”,在数轴上,当x是整数,[x]就是x,当x不是整数时,[x]是点x左侧的第一个整数点,这个函数叫做“取整函数”,也叫高斯(Gauss)函数;如[-2]=-2,[-1.5]=-2,[2.5]=2;则[log2]+[log2]+[log2]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24]的值为______. |
已知以下四个命题: ①如果x1,x2是一元二次方程的两个实根,且x1<x2,那么不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x1<x<x2}; ②若f(x)是奇函数,则f(0)=0; ③若集合P={x|x=3m+1,m∈N+},Q={x|x=5n+2,n∈N+},则P∩Q={x|x=15m-8,m∈N+} ④若函数f(x)在(-∞,+∞)上递增,且a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b). 其中为真命题的是______(填上你认为正确的序号). |
已知函数f(x)=, 当a<0时,则f(f(f(a)))的值为( ) |
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