定义在R上奇函数,f(x)对任意x∈R都有f(x+1)=f(3-x),若f(1)=-2,则2012f(2012)-2013f(2013)=( )A.-4026
题型:单选题难度:一般来源:天津一模
定义在R上奇函数,f(x)对任意x∈R都有f(x+1)=f(3-x),若f(1)=-2,则2012f(2012)-2013f(2013)=( )A.-4026 | B.4026 | C.-4024 | D.4024 |
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答案
由于函数f(x)对任意x∈R都有f(x+1)=f(3-x),∴f(x)=f(4-x),∴f(-x)=f(4+x). 再由函数f(x)为奇函数,可得f(-x)=-f(x),∴-f(x)=f(x+4),∴f(x)=f(x+8), 故函数f(x)的周期为8. ∴f(2012)=f(8×251+4)=f(4)=f(4-4)=f(0)=0, f(2013)=f(251×8+5)=f(5)=f(4-5)=f(-1)=-f(10=2, 2012f(2012)-2013f(2013)=0-2013×2=-4026, 故选A. |
举一反三
已知函数f(x)=ax2-2ax+3-b(a>0)在[1,3]上有最大值5和最小值2,则a、b的值是______. |
已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x-3,那么f(-2)的值是( ) |
已知函数f(x)=是奇函数. (1)求实数a的值; (2)判断并证明f(x)的单调性; (3)若对∀x∈[0,1],不等式f(x)≤t-x恒成立,求实数t的取值范围. |
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