(1)∵f(x)是奇函数 ∴f(0)=0,即=0 ∴a=1----------------------(3分) 经检验:a=1时f(x)=是奇函数,满足题意.--------(4分) (2)f(x)是单调增函数 证明:任取x1,x2∈(-∞,+∞),x1<x2 f(x1)-f(x2)=-=(2x1-1)(2x2+1)-(2x2-1)(2x1+1) | (2x1+1)(2x2+1) |
=----------------------(7分) ∵x1,x2∈(-∞,+∞),x1<x2 ∴2x1-2x2<0, 则f(x1)-f(x2)<0,即f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数.----------------------(10分) (3)由题意分离t得:t≥f(x)+x对x∈[0,1]恒成立----------------------(12分) 由(2)知函数f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数 ∴f(x)+x在[0,1]上是单调增函数 ∴f(x)+x在[0,1]上的最大值为f(1)+1=----------------------(14分) ∴t≥,即所求实数a的取值范围为[,+∞).----------------------(16分) |