已知函数f（x）=a•2x-12x+1是奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断并证明f（x）的单调性；（3）若对∀x∈[0，1]，不等式f（x）≤t-x恒成立，

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=

a•2x-1

2x+1

是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断并证明f（x）的单调性；
（3）若对∀x∈[0，1]，不等式f（x）≤t-x恒成立，求实数t的取值范围．

答案

（1）∵f（x）是奇函数
∴f（0）=0，即

a-1

3

=0
∴a=1----------------------（3分）
经检验：a=1时f（x）=

2x-1

2x+1

是奇函数，满足题意．--------（4分）
（2）f（x）是单调增函数
证明：任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

(2x1-1)(2x2+1)-(2x2-1)(2x1+1)

(2x1+1)(2x2+1)

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

----------------------（7分）
∵x₁，x₂∈（-∞，+∞），x₁＜x₂
∴2x1-2x2＜0，
则f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x）在（-∞，+∞）上是单调增函数．----------------------（10分）
（3）由题意分离t得：t≥f（x）+x对x∈[0，1]恒成立----------------------（12分）
由（2）知函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调增函数
∴f（x）+x在[0，1]上是单调增函数
∴f（x）+x在[0，1]上的最大值为f（1）+1=

4

3

----------------------（14分）
∴t≥

4

3

，即所求实数a的取值范围为[

4

3

，+∞）．----------------------（16分）