已知函数f(x)=2-xx+1；（1）求出函数f（x）的对称中心；（2）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数；（3）是否存在负数x0，使得f(x0)=3

题型：解答题难度：一般来源：奉贤区二模

已知函数f(x)=

2-x

x+1

；
（1）求出函数f（x）的对称中心；
（2）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数；
（3）是否存在负数x₀，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x₀；若不存在，请说明理由．

答案

（1）∵f(x)=

2-x

x+1

=

-x-1+3

x+1

=-1+

3

x+1

∴函数f（x）的对称中心为（-1，-1）
（2）任取x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂
∵f(x1)-f(x2)=

2-x1

x1+1

-

2-x2

x2+1

=

3x2-3x1

(x1+1)(x2+1)

＞0
∴函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数
（3）不存在
f(x)=-1+

3

x+1

，
由x₀＜0得：f（x₀）＜-1或f（x₀）＞2但0＜3x0＜1，
所以不存在．