已知f(x)=ax+bx2+1为定义在R上的奇函数,且f(1)=12(1)求f(x)的解析式;(2)判断并证明y=f(x)在(-1,0)上的单调性.

已知f(x)=ax+bx2+1为定义在R上的奇函数,且f(1)=12(1)求f(x)的解析式;(2)判断并证明y=f(x)在(-1,0)上的单调性.

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)=
ax+b
x2+1
为定义在R上的奇函数,且f(1)=
1
2

(1)求f(x)的解析式;
(2)判断并证明y=f(x)在(-1,0)上的单调性.
答案
(1)因为f(x)=
ax+b
x2+1
为定义在R上的奇函数,且f(1)=
1
2

所以





f(0)=0
f(1)=
1
2
,即





b=0
a+b
2
=
1
2
,解得:





a=1
b=0

所以,f(x)=
x
x2+1

(2)f(x)=
x
x2+1
在(-1,0)上为单调增函数.
证明:任取x1,x2∈(-1,0)且x1<x2
f(x1)-f(x2)=
x1
x12+1
-
x2
x22+1

=
x1x22+x1-x2x12-x2
(x12+1)(x22+1)

=
(1-x1x2)(x1-x2)
(x12+1)(x22+1)

因为x1,x2∈(-1,0)且x1<x2
所以1-x1x2>0,x1-x2<0.
所以,f(x1)-f(x2)=
(1-x1x2)(x1-x2)
(x12+1)(x22+1)
<0

即f(x1)<f(x2).
所以,函数y=f(x)在(-1,0)上的单调递增.
举一反三
已知f(x)=∫0x(2t-4)dt,则当x∈[-1,3]时,f(x)的最小值为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x2+bx+c的对称轴为x=2,则f(4),f(2),f(-2)由小到大的顺序为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)为单调函数,且f(x)•f[f(x)+
1
x
]=1
,则f(1)=(  )
A.1B.
1+


5
2
1-


5
2
C.
1+


5
2
D.
1-


5
2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知y=logα(3-2αx)在[0,1]上为x的减函数,则α的取值范围为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
如果函数f(x)=x3+ax2+bx+c,(a,b,c∈R)在R上不单调,则(  )
A.a2<3bB.a2≤3bC.a2>3bD.a2≥3b
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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