已知f(x)=ax+bx2+1为定义在R上的奇函数,且f(1)=12(1)求f(x)的解析式;(2)判断并证明y=f(x)在(-1,0)上的单调性.
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已知f(x)=ax+bx2+1为定义在R上的奇函数,且f(1)=12(1)求f(x)的解析式;(2)判断并证明y=f(x)在(-1,0)上的单调性.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知f(x)=
ax+b
x
2
+1
为定义在R上的奇函数,且f(1)=
1
2
(1)求f(x)的解析式;
(2)判断并证明y=f(x)在(-1,0)上的单调性.
答案
(1)因为f(x)=
ax+b
x
2
+1
为定义在R上的奇函数,且f(1)=
1
2
,
所以
f(0)=0
f(1)=
1
2
,即
b=0
a+b
2
=
1
2
,解得:
a=1
b=0
.
所以,f(x)=
x
x
2
+1
.
(2)
f(x)=
x
x
2
+1
在(-1,0)上为单调增函数.
证明:任取x
1
,x
2
∈(-1,0)且x
1
<x
2
则
f(
x
1
)-f(
x
2
)=
x
1
x
1
2
+1
-
x
2
x
2
2
+1
=
x
1
x
2
2
+
x
1
-
x
2
x
1
2
-
x
2
(
x
1
2
+1)(
x
2
2
+1)
=
(1-
x
1
x
2
)(
x
1
-
x
2
)
(
x
1
2
+1)(
x
2
2
+1)
.
因为x
1
,x
2
∈(-1,0)且x
1
<x
2
,
所以1-x
1
x
2
>0,x
1
-x
2
<0.
所以,
f(
x
1
)-f(
x
2
)=
(1-
x
1
x
2
)(
x
1
-
x
2
)
(
x
1
2
+1)(
x
2
2
+1)
<0
.
即f(x
1
)<f(x
2
).
所以,函数y=f(x)在(-1,0)上的单调递增.
举一反三
已知f(x)=∫
0
x
(2t-4)dt,则当x∈[-1,3]时,f(x)的最小值为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=x
2
+bx+c的对称轴为x=2,则f(4),f(2),f(-2)由小到大的顺序为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)为单调函数,且
f(x)•f[f(x)+
1
x
]=1
,则f(1)=( )
A.1
B.
1+
5
2
或
1-
5
2
C.
1+
5
2
D.
1-
5
2
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
已知y=log
α
(3-2αx)在[0,1]上为x的减函数,则α的取值范围为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
如果函数f(x)=x
3
+ax
2
+bx+c,(a,b,c∈R)在R上不单调,则( )
A.a
2
<3b
B.a
2
≤3b
C.a
2
>3b
D.a
2
≥3b
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
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