已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足:(1)对于任意x∈(0,1),总有f(x)>0;(2)f(1)=1;(3)若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则

已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足:(1)对于任意x∈(0,1),总有f(x)>0;(2)f(1)=1;(3)若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足:
(1)对于任意x∈(0,1),总有f(x)>0;
(2)f(1)=1;
(3)若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2);
(Ⅰ)证明f(x)在[0,1]上为增函数;
(Ⅱ)若对于任意x∈[0,1],总有4f2(x)-4(2-a)f(x)+5-4a≥0,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)比较f(
1
22
+
2
23
+…+
n
2n+1
)
与1的大小,并给与证明.
答案
证明:(Ⅰ)设0≤x1<x2≤1,则x2-x1∈(0,1)
∴f(x2-x1)>0
∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)>0
即f(x2)>f(x1
故f(x)在[0,1]上是单调递增的
(Ⅱ)因f(x)在x∈[0,1]上是增函数,则f(x)≤f(1)=1⇒1-f(x)≥0,
当f(x)≤f(1)=1时,容易验证不等式成立;
当f(x)<1时,则
4f2(x)-4(2-a)f(x)+5-4a≥0⇒a≤
4f2(x)-8f(x)+5
4-4f(x)
对x∈[0,1]恒成立,
y=
4f2(x)-8f(x)+5
4-4f(x)
=1-f(x)+
1
4[1-f(x)]
≥1
,从而则a≤1
综上,所求为a∈(-∞,1];
(Ⅲ)令Sn=
1
22
+
2
23
+
3
24
+…+
n
2n+1
----------①,
1
2
Sn
=
1
23
+
2
24
+
3
25
+…+
n
2n+2
--------------②,
由①-②得,
1
2
Sn
=
1
22
+
1
23
+
1
24
+…+
1
2n+1
-
n
2n+2
,即,Sn=
1
2 
+
1
22
+
1
23
+…+
1
2n
-
n
2n+1
=1-
1
2n
-
n
2n+1
<1

所以f(
1
22
+
2
23
+…+
n
2n+1
)<f(1)=1
举一反三
定义在R上奇函数,f(x)对任意x∈R都有f(x+1)=f(3-x),若f(1)=-2,则2012f(2012)-2013f(2013)=(  )
A.-4026B.4026C.-4024D.4024
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=





x+1,x≥0
f(x+2),x<0
,则f(-1)=(  )
A.0B.1C.2D.3
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=ax2-2ax+3-b(a>0)在[1,3]上有最大值5和最小值2,则a、b的值是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x-3,那么f(-2)的值是(  )
A.-
11
4
B.
11
4
C.1D.-1
题型:单选题难度:简单| 查看答案
设函数f(x)=





x3,0≤x<5
f(x-5),x≥5
,那么f(2013)(  )
A.27B.9C.3D.1
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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