定义在R上的单调增函数f(x),对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)若f(k•3x)+f(3x-9x-2

定义在R上的单调增函数f(x),对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)若f(k•3x)+f(3x-9x-2

题型:解答题难度:一般来源:不详
定义在R上的单调增函数f(x),对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)若f(k•3x)+f(3x-9x-2)<0对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围.
答案
(1)证明:令x=y=0,代入f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),得f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0.
令y=-x,代入f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),得 f(x-x)=f(x)+f(-x),
又f(0)=0,则有0=f(x)+f(-x).
即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立,所以f(x)是奇函数.--------------(4分)
(2)f(x)在R上是单调增函数,又由(1)知f(x)是奇函数.
∵f(k•3x)<-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2),
∴k•3x<-3x+9x+2,
∴32x-(1+k)•3x+2>0对任意x∈R成立.
令t=3x>0,问题等价于t2-(1+k)t+2>0对任意t>0恒成立.--------------------(6分)
令g(t)=t2-(1+k)t+2,其对称轴为x=
1+k
2

1+k
2
<0
,即k<-1时,f(0)>2,符合题意;
1+k
2
≥0
,即k≥-1时,则△=(1+k)2-4×2<0,∴-1≤k<-1+2


2

综上,k<-1+2


2
--------------------------(12分)
举一反三
定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上单调递增,设a=f(3),b=f(


2
)
,c=f(2),则a,b,c从大到小的排列顺序是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=





3x,x≤0
f(x-1),x>0
f(
5
6
)
的值为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=
1
2x+


2

(I)求值:f(1)+f(2),f(-1)+f(2);
(II)由(I)的结果归纳概括对所有实数x都成立的一个等式,并加以证明.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
点M(a,b)在函数y=
1
x
的图象上,点N与点M关于y轴对称且在直线x-y+3=0上,则函数f(x)=abx2+(a+b)x-1在区间[-2,2)上(  )
A.既没有最大值也没有最小值
B.最小值为-3,无最大值
C.最小值为-3,最大值为9
D.最小值为-
13
4
,无最大值
题型:单选题难度:一般| 查看答案
“反比例函数y=
1
x
在定义域上是减函数”的一个反例的条件可以是(  )
A.取x1=1,x2=2B.取x1=-1,x2=-2
C.取x1=-1,x2=2D.任取x1,x2,且x1<x2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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