定义在R上的单调增函数f(x),对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)若f(k•3x)+f(3x-9x-2
题型:解答题难度:一般来源:不详
定义在R上的单调增函数f(x),对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y). (1)判断函数f(x)的奇偶性; (2)若f(k•3x)+f(3x-9x-2)<0对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围. |
答案
(1)证明:令x=y=0,代入f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),得f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0. 令y=-x,代入f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),得 f(x-x)=f(x)+f(-x), 又f(0)=0,则有0=f(x)+f(-x). 即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立,所以f(x)是奇函数.--------------(4分) (2)f(x)在R上是单调增函数,又由(1)知f(x)是奇函数. ∵f(k•3x)<-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2), ∴k•3x<-3x+9x+2, ∴32x-(1+k)•3x+2>0对任意x∈R成立. 令t=3x>0,问题等价于t2-(1+k)t+2>0对任意t>0恒成立.--------------------(6分) 令g(t)=t2-(1+k)t+2,其对称轴为x= 当<0,即k<-1时,f(0)>2,符合题意; 当≥0,即k≥-1时,则△=(1+k)2-4×2<0,∴-1≤k<-1+2 综上,k<-1+2--------------------------(12分) |
举一反三
定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上单调递增,设a=f(3),b=f(),c=f(2),则a,b,c从大到小的排列顺序是______. |
已知函数f(x)=, (I)求值:f(1)+f(2),f(-1)+f(2); (II)由(I)的结果归纳概括对所有实数x都成立的一个等式,并加以证明. |
点M(a,b)在函数y=的图象上,点N与点M关于y轴对称且在直线x-y+3=0上,则函数f(x)=abx2+(a+b)x-1在区间[-2,2)上( )A.既没有最大值也没有最小值 | B.最小值为-3,无最大值 | C.最小值为-3,最大值为9 | D.最小值为-,无最大值 |
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“反比例函数y=在定义域上是减函数”的一个反例的条件可以是( )A.取x1=1,x2=2 | B.取x1=-1,x2=-2 | C.取x1=-1,x2=2 | D.任取x1,x2,且x1<x2 |
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