设关于x的方程2x2-ax-2=0的两根为α、β(α<β),函数f(x)=4x-ax2+1.(1)求f(α)、f(β)的值;(2)证明f(x)是[α,β]上的增
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设关于x的方程2x2-ax-2=0的两根为α、β(α<β),函数f(x)=4x-ax2+1.(1)求f(α)、f(β)的值;(2)证明f(x)是[α,β]上的增
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设关于x的方程2x
2
-ax-2=0的两根为α、β(α<β),函数
f(x)=
4x-a
x
2
+1
.
(1)求f(α)、f(β)的值;
(2)证明f(x)是[α,β]上的增函数;
(3)当α为何值时,f(x)在区间[α,β]上的最大值与最小值之差最小?
答案
(1)
f(α)=
-8
a
2
+16-a
,f(β)=
8
a
2
+16+a
,f(α)•f(β)=-4
.
(2)设Φ(x)=2x
2
-ax-2,则当a<x<β时,Φ(x)<0.
f′(x)=
(4x-a)′(
x
2
+1)-(4x-a)(
x
2
+1)′
(
x
2
+1)
2
=
4(
x
2
+1)-2x(4x-a)
(
x
2
+1)
2
=-
2(2
x
2
-ax+2)
(
x
2
+1)
2
=-
2Φ(x)
(
x
2
+1)
2
>0
∴函数f(x)在(α,β)上是增函数.
(3)函数f(x)在[α,β]上最大值f(β)>0,最小值f(α)<0,
∵|f(α)•f(β)|=4,
∴当且仅当f(β)=-f(α)=2时,f(β)-f(α)=|f(β)|+|f(α)|取最小值4,此时a=0,f(β)=2.
举一反三
设a为非负实数,函数f(x)=x|x-a|-a.
(Ⅰ)当a=2时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)讨论函数y=f(x)的零点个数,并求出零点.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数y=log
0.3
(x
2
-ax+3a)在[2,+∞)上是单调递减函数,则a的取值范围______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=x+
a
x
,且f(1)=2
(1)求实数a的值;
(2)判断f(x)的奇偶性;
(3)判断函数f(x)在(1,+∞)上是增函数还是减函数?并用定义证明.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=2
x
(1)设函数y=f(x)的反函数为y=g(x),求函数y=g(x
2
-2x-3)的单调递增区间;
(2)求满足不等式f(|x+1|-|x-1|)
≥2
2
的x的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数f(x)对于任意实数x满足条件
f(x+2)=
1
f(x)
,若f(-1)=5,则f(2013)=______.
题型:填空题
难度:简单
|
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