已知函数f(x)=ex-e-xex+e-x(其中e=2.71828…是一个无理数).(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断奇偶性并证明之;(3)判断单调性并证
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已知函数f(x)=ex-e-xex+e-x(其中e=2.71828…是一个无理数).(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断奇偶性并证明之;(3)判断单调性并证
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=
e
x
-
e
-x
e
x
+
e
-x
(其中e=2.71828…是一个无理数).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断奇偶性并证明之;
(3)判断单调性并证明之.
答案
f(x)=
e
2x
-1
e
2x
+1
=1-
2
e
2x
+1
(1)∵e
2x
+1恒大于零,
∴x∈R
(2)函数是奇函数
∵f(-x)=
e
-2x
-1
e
-2x
+1
=
1-
e
2x
1+
e
2x
=-f(x)
又由上一问知函数的定义域关于原点对称,
∴f(x)为奇函数
(3)是一个单调递增函数
设x
1
,x
2
∈R 且x
1
<x
2
则f(x
1
)-f(x
2
)=1-
2
e
2
x
1
+1
-1+
2
e
2
x
2
+1
=
2(
e
2
x
1
-
e
2
x
2
)
(
e
2
x
1
+1)(
e
2
x
2
+1)
∵x
1
<x
2
,
∴
e
2
x
1
-
e
2
x
2
<0
∴f(x
1
)-f(x
2
)<0
即f(x
1
)<f(x
2
)
∴f(x)在R是单调增函数
举一反三
已知函数
f(x)=x+
4
x
,(x≠0)
(1)判断并证明函数在其定义域上的奇偶性;
(2)判断并证明函数在(2,+∞)上的单调性;
(3)解不等式f(2x
2
+5x+8)+f(x-3-x
2
)<0.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数y=4
x
+2
x+1
+5,x∈[0,2],若t=2
x
(1)若t=2
x
,把y写成关于t的函数,并求出定义域;
(2)求函数的最大值.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数
y=x+
1
x
,(x>0)单调减区间是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知定义在R上的函数f(x)=2
x
-
1
2
丨x丨
.
(1)若f(x)=
3
2
,求x的值;
(2)若2
t
f(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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②f(-3)=0;
③直线x=6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴;
④函数y=f(x)在[-9,-6]上为增函数.
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题型:填空题
难度:一般
|
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