已知函数f(x)=x+4x，（x≠0）（1）判断并证明函数在其定义域上的奇偶性；（2）判断并证明函数在（2，+∞）上的单调性；（3）解不等式f（2x2+5x+8

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=x+

4

x

，（x≠0）
（1）判断并证明函数在其定义域上的奇偶性；
（2）判断并证明函数在（2，+∞）上的单调性；
（3）解不等式f（2x²+5x+8）+f（x-3-x²）＜0．

答案

（1）任意x∈{x|x≠0}，
f(-x)=-x-

4

x

=-f(x)，
所以函数为奇函数．
（2）任取x₁，x₂∈（2，+∞）
则f(x1)-f(x 2)=x1-x 2+(

4

x1

-

4

x2

)=(x1-x2)•

x1x2-4

x1x2

∵x₁＜x₂∴x₁-x₂＜0，
又∵x₁，x₂∈（2，+∞），
∴x₁•x₂＞4，x₁•x₂-4＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
所以函数在（2，+∞）上为增函数
（3）因为2x²+5x+8＞2，x²-x+3＞2，
∴2x²-5x+8＜x²-x+3，
∴-5＜x＜-1
所以不等式的解集为：（-5，-1）．