称一个函数是“好函数”当且仅当其满足：（1）定义在R上；（2）存在a＜b，使其在（-∞，a），（b，+∞）上单调递增，在（a，b）上单调递减，则以下函数是好函数
题型：填空题难度：简单来源：不详
称一个函数是“好函数”当且仅当其满足：（1）定义在R上；（2）存在a＜b，使其在（-∞，a），（b，+∞）上单调递增，在（a，b）上单调递减，则以下函数是好函数的有______（填写函数编号）
①y=|x-2|；
②y=x|x-2|；
③y=x3-3x+1；
④y=x3+x+3． |
答案
①中函数y=|x-2|定义域为R，y=|x-2|=
∴不存在a，使y=|x-2|在（-∞，a）上单调递增，故不正确；
②中函数y=x|x-2|定义域为R，y=x|x-2|=
∴y=x|x-2|在（-∞，1）、（2，+∞）上单调递增，在（1，2）上单调递减，满足好函数的定义，故正确；
③中函数y=x3-x+1定义域为R，则y′=3x2-1＜0解得x∈（-，），
y′=3x2-1＞0解得x∈（-∞，-）∪（，+∞），
∴y=x3-x+1在（-∞，-）、（，+∞）上单调递增，在（-，）上单调递减，满足好函数的定义，故正确；
④中函数y=x3+x+3定义域为R，则y′=3x2+1＞0恒成立
故不存在a＜b，使函数y=x3+x+3在（a，b）上单调递减，不满足好函数的定义，故不正确；
故答案为：②③ |
举一反三
已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞2x的解集为（-1，3）．
（1）若函数g（x）=x，f（x）在区间（-∞，）内单调递减，求a的取值范围；
（2）当a=-1时，证明方程f（x）=2x3-1仅有一个实数根．
（3）当x∈[0，1]时，试讨论|f（x）+（2a-1）x+3a+1|≤3成立的充要条件． |
| 已知f(x)=sin2x+2cosxf′()，则f′()=______． |
下列函数中既是奇函数，又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）| A．y=-x2 | B．y=x+ | C．y=1g（2x） | D．y=e|x| |
|
| 定义在R上的奇函数f（x）在区间[1，4]上是增函数，在区间[2，3]上的最小值为-1，最大值为8，则2f（2）+f（-3）+f（0）=______． |
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