称一个函数是“好函数”当且仅当其满足:(1)定义在R上;(2)存在a<b,使其在(-∞,a),(b,+∞)上单调递增,在(a,b)上单调递减,则以下函数是好函数

称一个函数是“好函数”当且仅当其满足:(1)定义在R上;(2)存在a<b,使其在(-∞,a),(b,+∞)上单调递增,在(a,b)上单调递减,则以下函数是好函数

题型:填空题难度:简单来源:不详
称一个函数是“好函数”当且仅当其满足:(1)定义在R上;(2)存在a<b,使其在(-∞,a),(b,+∞)上单调递增,在(a,b)上单调递减,则以下函数是好函数的有______(填写函数编号)
①y=|x-2|;
②y=x|x-2|;
③y=x3-3x+1;
④y=x3+x+3.
答案
①中函数y=|x-2|定义域为R,y=|x-2|=





x -2,x>2
2-x ,x≤2

∴不存在a,使y=|x-2|在(-∞,a)上单调递增,故不正确;
②中函数y=x|x-2|定义域为R,y=x|x-2|=





x2-2x,x>2
2x-x2,x≤2

∴y=x|x-2|在(-∞,1)、(2,+∞)上单调递增,在(1,2)上单调递减,满足好函数的定义,故正确;
③中函数y=x3-x+1定义域为R,则y′=3x2-1<0解得x∈(-


3
3


3
3
),
y′=3x2-1>0解得x∈(-∞,-


3
3
)∪(


3
3
,+∞),
∴y=x3-x+1在(-∞,-


3
3
)、(


3
3
,+∞)上单调递增,在(-


3
3


3
3
)上单调递减,满足好函数的定义,故正确;
④中函数y=x3+x+3定义域为R,则y′=3x2+1>0恒成立
故不存在a<b,使函数y=x3+x+3在(a,b)上单调递减,不满足好函数的定义,故不正确;
故答案为:②③
举一反三
已知f(x)=





x2+1  ,(x≤1)
-2x+3 ,(x>1)
,则f[f(2)]=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>2x的解集为(-1,3).
(1)若函数g(x)=x,f(x)在区间(-∞,
a
3
)内单调递减,求a的取值范围;
(2)当a=-1时,证明方程f(x)=2x3-1仅有一个实数根.
(3)当x∈[0,1]时,试讨论|f(x)+(2a-1)x+3a+1|≤3成立的充要条件.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知f(x)=sin2x+2cosxf′(
π
4
)
,则f′(
π
4
)
=______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
下列函数中既是奇函数,又在区间(0,+∞)上单调递增的是(  )
A.y=-x2B.y=x+
1
x
C.y=1g(2xD.y=e|x|
题型:单选题难度:一般| 查看答案
定义在R上的奇函数f(x)在区间[1,4]上是增函数,在区间[2,3]上的最小值为-1,最大值为8,则2f(2)+f(-3)+f(0)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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