已知a>0,≠1,f(logax)=aa2-1(x-1x).(1)求函数f(x)的表达式,并写出函数f(x)的定义域;(2)判断f(x)的单调性,并给出证明;(

已知a>0,≠1,f(logax)=aa2-1(x-1x).(1)求函数f(x)的表达式,并写出函数f(x)的定义域;(2)判断f(x)的单调性,并给出证明;(

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知a>0,≠1,f(logax)=
a
a2-1
(x-
1
x
).
(1)求函数f(x)的表达式,并写出函数f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的单调性,并给出证明;
(3)若不等式f(x2)+f(kx+1)≤0对实数x∈(1,2)恒成立,求实数k的取值范围.
答案
(1)令logax=t则x=at
所以f(t)=
a
a2-1
(at-a-t
f(x)=
a
a2-1
(ax-a-x),定义域为R

(2)f′(x)=
a
a2-1
lna(ax+a-x
当a>1时,
a
a2-1
>0,lna>0,
f′(x)>0,f(x)在R上单增
当0<a<1时,
a
a2-1
<0,lna<0f′(x)>0,f(x)在R上单增
总之f(x)在R单增

(3)∵f(x)=
a
a2-1
(ax-a-x)

∴f(-x)=-f(x)
∴f(x2)+f(kx+1)≤0
即为f(x2)≤f(-kx-1)
∵f(x)单增
∴不等式f(x2)+f(kx+1)≤0对实数x∈(1,2)恒成立
即为x2≤-kx-1对实数x∈(1,2)恒成立
即-k≥x+
1
x
对实数x∈(1,2)恒成立
∵x+
1
x
∈(2,
5
2
)

∴-k≥
5
2

∴k≤-
5
2
举一反三
函数y=x+2cosx在[0,
π
2
]上取得最大值时,X的值为(  )
A.0B.
π
6
C.
π
3
D.
π
2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
函数f(x)=1-
2
x+1
的单调增区间是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)=x+
λ
x
,常数λ>0.
(1)若λ=1,判断f(x)在区间[1,4]上的单调性,并加以证明;
(2)若f(x)在区间[1,4]上的单调递增,求λ的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数|f(x)|=|x|


2-x2
的最大值为M,g(x)=x2-(2a+1)x+a2+M,a∈R.
(1)求M的值;
(2)解关于x的不等式g(x)>x.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
下列函数中既不是奇函数,又不是偶函数,且在(-∞,0)上为增函数的为______
①f(x)=-x2-2x+1②f(x)=(
1
2
)|x-1|
f(x)=
x
x-1
f(x)=|log
1
2
x|
y=x-,
2
3
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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