对于函数f(x)=a-22x+1 (a∈R). (1)探索函数f(x)的单调性;(2)是否存在实数a使得f(x)为奇函数.
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对于函数f(x)=a-22x+1 (a∈R). (1)探索函数f(x)的单调性;(2)是否存在实数a使得f(x)为奇函数.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
对于函数
f(x)=a-
2
2
x
+1
(a∈R)
.
(1)探索函数f(x)的单调性;
(2)是否存在实数a使得f(x)为奇函数.
答案
(1)∵f(x)的定义域为R,设x
1
<x
2
,
则
f(
x
1
)-f(
x
2
)=a-
1
2
x
1
+1
-a+
1
2
x
2
+1
=
2
x
1
-
2
x
2
(1+
2
x
1
)(1+
2
x
2
)
,(3分)
∵x
1
<x
2
,∴
2
x
1
-
2
x
2
<0,(1+
2
x
1
)(1+
2
x
2
)>0
,(5分)
∴f(x
1
)-f(x
2
)<0,
即f(x
1
)<f(x
2
),所以不论a为何实数f(x)总为增函数.(6分)
(2)假设存在实数a使f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)(7分)
即
a-
2
2
-x
+1
=-a+
2
2
x
+1
,(9分)
解得:a=1,故存在实数a使f(x)为奇函数. (12分)
举一反三
已知f(x)是定义在区间[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若m、n∈[-1,1],m+n≠0时,有
f(m)+f(n)
m+n
题型:解答题
难度:一般
|
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函数
y=lo
g
1
2
(-
x
2
+3x+4)
的单调减区间是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数f(x)对于一切x、y∈R,都有f(xy)=f(x+y)+f(x-y).
(Ⅰ)求证:f(x)在R上是偶函数;
(Ⅱ)若f(x)在区间(-∞,0)上是减函数,且有f(2a
2
+a+1)<f(-2a
2
+4a-3),求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=
x
2
+
k
x
(x≠0, k为常数)
,
(1)若k=-1,求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(2)讨论函数f(x)的奇偶性,并加以证明.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数
y=lo
g
1
3
(
x
2
-6x+5)
的单调增区间是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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